Tensor valuations on lattice polytopes

Abstract

In dieser Dissertation wird ein Überblick über Tensorbewertungen auf Gitterpolytopen gegeben, der auf zwei Arbeiten basiert, in denen mit der Entwicklung der Theorie dieser Bewertungen begonnen wurde. Dabei wird einerseits eine Klassifikation von Tensorbewertungen hergeleitet und andererseits werden die Basiselemente des Vektorraums dieser Bewertungen untersucht. Basierend auf der gemeinsamen Arbeit [41] mit Monika Ludwig wird für symmetrische Tensorbewertungen bis zum Rang 8, die kovariant bezüglich Translationen und der speziellen linearen Gruppe über den ganzen Zahlen sind, eine vollständige Klassifikation hergeleitet. Der Spezialfall der skalaren Bewertungen stammt von Betke und Kneser, die zeigten, dass alle solche Bewertungen Linearkombinationen der Koeffizienten des Ehrhart-Polynoms sind. Als Verallgemeinerung dieses Resultats wird gezeigt, dass für Rang kleiner gleich 8 alle solchen Tensorbewertungen Linearkombinationen der entsprechenden Ehrhart-Tensoren sind und, dass dies für Rang 9 nicht mehr gilt. Für Rang 9 wird eine neue Bewertung beschrieben und für Tensoren höheren Ranges werden ebenfalls Kandidaten für solche Bewertungen angegeben. Weiter werden der Begriff des Ehrhart-Polynoms und die Reziprozitätssätze von Ehrhart & Macdonald auf Tensorbewertungen verallgemeinert. Das Ehrhart-Tensorpolynom ist eine natürliche Verallgemeinerung des Ehrhart-Polynoms. Basierend auf der gemeinsamen Arbeit [9] mit Sören Berg und Katharina Jochemko werden diese Ehrhart-Tensorpolynome untersucht. Verallgemeinerungen der klassischen Formel von Pick werden im Fall von vektor- und matrixwertigen Bewertungen hergeleitet, wobei Triangulierungen des gegebenen Gitterpolygons verwendet werden. Der Begriff des h*-Polynoms wird auf den Begriff des h r-Tensorpolynoms erweitert und dessen Koeffizienten werden für Matrizen auf positive Semidefinitheit untersucht. Im Unterschied zum klassischen h*-Polynom sind die Koeffizienten nicht notwendigerweise monoton. Trotzdem wird positive Semidefinitheit im planaren Fall bewiesen. Basierend auf Rechnungen wird positive Semidefinitheit auch für höhere Dimensionen vermutet. Darüber hinaus wird Hibi's Palindromsatz für reflexive Polytope auf h r-Tensorpolynome verallgemeinert.

An overview of tensor valuations on lattice polytopes is provided composed of two contributions that began the development of the theory of these valuations; a characterization result preceded by a thorough study of the basis elements of the vector space of valuations. A complete classification, based on a joint paper with Monika Ludwig [43], is established of symmetric tensor valuations of rank up to eight that are translation covariant and intertwine the special linear group over the integers. The real-valued case was established by Betke & Kneser where it was shown that the only such valuations are the coefficients of the Ehrhart polynomial. The Ehrhart polynomial is generalized to the Ehrhart tensor polynomial with coefficients Ehrhart tensors. Extending the result of Betke & Kneser, it is shown that every tensor valuation with these properties is a combination of the Ehrhart tensors, for rank at most eight, which is shown to no longer hold true for rank nine. A new valuation that emerges in rank nine is described along with candidates for tensors of higher rank. Furthermore, the reciprocity theorems by Ehrhart & Macdonald are extended to tensor valuations. Based on a joint paper with Sören Berg and Katharina Jochemko [10], the Ehrhart tensors are investigated. Pick-type formulas are given, for the vector and matrix cases, in terms of triangulations of the given lattice polygon. The notion of the Ehrhart h*-polynomial is extended to h r-tensor polynomials and, for matrices, their coefficients are studied for positive semidefiniteness. In contrast to the classic h*-polynomial, the coefficients are not necessarily monotone with respect to inclusion. Nevertheless, positive semidefiniteness is proven in the planar case. Based on computational results, positive semidefiniteness of the coefficients in higher dimensions is conjectured. Furthermore, Hibi's palindromic theorem for reflexive polytopes is generalized to h r-tensor polynomials.