Aggregation ganzzahliger Risiken mit Copula-induzierter Abhängigkeitsstruktur

Abstract

In der vorliegenden Diplomarbeit betrachten wir ein Portfolio d ganzzahliger Risiken und berechnen die Verteilung des aggregierten Schadens S, welcher die Summe dieser ist. Um die in der Praxis gängige Annahme unabhängiger Risiken zu verallgemeinern, modellieren wir die Abhängigkeitsstruktur der einzelnen Risiken mittels Copulas, wodurch wir erheblich an Flexibilität gewinnen. Nach einer Einführung in die Copula-Theorie beweisen wir im Hauptteil dieser Arbeit eine Formel zur Berechnung der Verteilungsfunktion des Gesamtschadens S. Darüber hinaus wird eine Rekursionsformel für die Wahrscheinlichkeitsfunktion von S aufgestellt. Die mittels Rearrangement Algorithm errechneten Schranken für die Verteilung von S dienen der Quantifizierung des Modellrisikos, welches durch unterschiedliche Abhängigkeitsszenarien verursacht wird. Um die theoretischen Aspekte dieser Arbeit zu veranschaulichen, enthält das letzte Kapitel eine Vielzahl numerischer Beispiele, in denen neben der Verteilung und Wahrscheinlichkeitsfunktion auch Risikomaße wie Value-at-Risk und Expected Shortfall für S unter verschiedenen Abhängigkeitsstrukturen berechnet werden.

In this diploma thesis we investigate a portfolio of d integer-valued risks and calculate the distribution of the aggregate loss S, which is the sum of these. To generalize the popular assumption of independence used in practice, we model the dependency structure of the individual risks using copulas, allowing for a wide range of flexibility. After a rather detailed introduction to copula theory, the main part of this thesis starts with a formula for the distribution function of S. In addition, a recursion formula for the probability mass function of S is provided. Bounds on the distribution of S determined by the Rearrangement Algorithm serve to quantify the model risk caused by feasible scenarios of dependency. To illustrate the theoretical considerations, the final chapter contains a multitude of numerical examples in which, besides the distribution and probability mass function, common risk measures such as Value-at-Risk and Expected Shortfall for S are calculated under various dependency structures.