Risk measures and their impact on the risk management of financial institutions

Abstract

Teil I präsentiert eine neue Importance Sampling Technik zur Steigerung der Effizienz der Simulation von seltenen Events. Die sogenannte Rotational Invariant Importance Sampling Technik verwendet eine multidimensionale rotationsinvariante Hilfsdichte um Risikomaße für Kreditportfolios zu berechnen, für welche die Methode des Mean Shiftings nicht anwendbar ist. Dies ist speziell in inhomogenen Portfolios, also Portfolios mit mehreren Gegenden von hohen Verlusten, der Fall. Weiters erlaubt Rotational Invariant Importance Sampling die Berechnung der Kontributionen einzelner Kundencluster zu den Risikomaßen des Portfolios (Value at Risk, Expected Shortfall) auf viel schnellere und präzisere Art und Weise. Teil II diskutiert eine Erweiterung der Arbeit von Jouini et al. (2006):<br />Es wird gezeigt, dass verteilungsinvariante Funktionen unter der zusätzlichen Annahme der Quasikonvexität die Fatou Eigenschaft besitzen.<br />Weiters werden sogenannte time-consistent verteilungs-invariante Funktionen diskutiert. Abschließend werden Repräsentationsresultate für verteilungs-invariante cash sub-additive Risikomaße und für verteilungsinvariante quasikonvexe Risikomaße vorgestellt. Teil III behandelt im Speziellen quasikonkave Nutzenfunktionen, deren sup-convolution Eigenschaften und das Konzept des optimal risk sharing.<br />Die Hauptresultate sind hier ein Äquivalenztheorem für Pareto optimales risk sharing welches auf quasikonkaven Nutzenfunktionen basiert, und der Beweis des Existenztheorems für Pareto optimale Allokationen für Funktionen, die streng cash sub-additiv und L-unendlich monoton sind.<br />

Part I introduces a new importance sampling technique to increase the efficiency of rare event simulation. By using a multidimensional rotational invariant auxiliary density, this method can be applied to estimate risk measures for credit risk portfolios where the method of importance sampling via mean shifting is not suitable. The loss distribution of the portfolio is obtained by simulating scenarios that are constituted by macroeconomic factors. Especially in inhomogeneous portfolios, i.e. portfolios with multiple areas of factors resulting in high losses, rotational invariant importance sampling is advantageous. Furthermore, rotational invariant importance sampling allows to calculate contributions to risk measures of different customer clusters in credit portfolios quicker and more precisely. The new method is applied to a real world credit portfolio with a high number of obligors. A comparison between standard Monte Carlo simulation and simulation using rotational invariant importance sampling in terms of computation time is given.<br />Part II discusses an extension of Jouini et al.(JST06), showing that law-invariant functions have the Fatou property under additional quasiconvexity assumptions. We discuss time-consistent law-invariant functions. We give representation results for both law-invariant cash sub-additive risk measures and law-invariant quasiconvex risk measures.<br />Part III focuses on quasiconcave utility functions, their sup-convolution properties and optimal risk sharing. The main results are the equivalence theorem for the Pareto optimality of risk sharing allocations based on quasiconcave utility functions, and the proof of the existence of Pareto optimal allocations for functions that are strictly cash sub-additive and L-infinity monotone.