Optimal consumption and pareto optimal risk sharing

Abstract

Diese Dissertation besteht aus zwei Teilen. Der erste Teil beschäftigt sich mit dem optimalen Konsumproblem. Zu Beginn diskutieren wir den optimalen Konsum und das optimale Endvermögen in einem deterministischen Modell. Diese Fragestellungen kann man nicht von einander trennen, da unser Konsum nicht durch unendlich hohe Schulden zum Endzeitpunkt finanziert werden soll. Nach diesen Vorbereitungen betrachten wir kurz den optimalen Konsum im Black-Merton-Scholes Markt und widmen uns anschließend dem wichtigsten Abschnitt des ersten Teiles, dem optimalen Konsum im geometrischen Ornstein-Uhlenbeck Markt.<br />Wir zeigen in diesem stochastischen Modell die optimalen Konsumstrategien für unterschiedliche Nutzenfunktionen, betrachten das Verhalten dieser Strategien abhängig von unterschiedlichen Parametern und illustrieren die Ergebnisse anhand von Simulationen. Schließlich vergleichen wir die primale und die duale Lösungsmethode anhand eines Beispiels.<br />Den Anstoß für diesen ersten Teil gab das paper "Asymptotic Arbitrage and Large Deviations" von Walter Schachermayer und Hans Föllmer.<br />Der zweite Teil beschäftigt sich mit Pareto optimalen Allocationen einer risikobehafteten Position und ist in Zusammenarbeit mit Michael Kupper von der Humboldt Universität zu Berlin und Ranja Reda von der Technischen Universität Wien entstanden. Wir betrachten den Nutzen einer risikobehafteten Position und versuchen diesen zwischen zwei Agenten optimal zu verteilen. Als Pareto optimal bezeichnen wir eine Position dann, wenn es keine Veränderung gibt, die einen Agenten echt besser stellt, die nicht mindestens einen anderen Agenten schlechter stellt. Im Gegensatz zu den Analysen im ersten Teil der Dissertation betrachten wir hier nicht klassische Nutzenfunktionen, sondern betrachten eine größere Klasse, nämlich die Klasse aller quasiconcaven Nutzenfunktionen. Wir zeigen, dass es eine Pareto optimale Alllocation gibt, und beschreiben diese Allocation.<br />

This thesis consists of two parts, the first one deals with the optimal consumption and investment problem, whereas the second part focuses on the Pareto optimal allocation of a risky position between two agents.<br />In the first part we start by considering the deterministic optimal consumption problem as a motivation for the stochastic problem. The optimal consumption process is calculated assuming a special form of the utility function. We see that the choice of the utility function plays a major role in the form of the consumption process. Not only do we consider the problem of optimal consumption, but also the problem of optimal terminal wealth, since both of them are linked closely and it is of economical importance to consider both of them at the same time, since it is not always optimal to finance the consumption by a big loan, which leaves us broke at the final time.<br />Subsequently we turn to the stochastic model and consider the problem of maximizing the utility of consumption and terminal wealth in a geometric Ornstein-Uhlenbeck market, after a quick detour over to the Black-Merton-Scholes model. We calculate the optimal consumption and wealth processes for power, logarithmic and exponential utility as well as their behavior depending e.g.on subjective discounting or the time horizon. We also use a specific example to show the identity of the solutions calculated by the primal and the dual method. In the stochastic case we show explicit results for the optimal processes, which are illustrated by numerical simulations and their limiting behavior depending on the time horizon or the weight on consumption and respectively on the terminal wealth. This first part was inspired by the paper of Walter Schachermayer and Hans Föllmer titled "Asymptotic Arbitrage and Large Deviations" The second part is joint work with Michael Kupper from the Humbolt University in Berlin and Ranja Reda from the Technical University of Vienna. We consider the utility of a risky position and remember that a utility function always implies a risk measure. The innovation of this work lies in the fact that we do not consider classical utility functions as in the first part of the thesis, but we relax our assumptions on a utility function, so instead of concavity we use quasi-concavity. Using this utility we want to find a Pareto optimal allocation. An allocation is called Pareto optimal if it is impossible to make someone better off without making someone else worse off. When all agents have reached a Pareto optimal distribution, then there would not be any more changes, since at least one of the agents would object.<br />We prove that Pareto optimal allocations do exist and we can give a characterization of them. We show that this position is closely linked to the optimal distribution of risk in a sense that the sum of the utilities is maximized in such as allocation.<br />Finally we present some examples of quasiconcave risk measures, which are not concave in order to motivate the relaxation of the definition of utility functions.