Geometrisch mathematische Kuriositäten

Abstract

In der vorliegenden Arbeit werden einige klassische Probleme und Aufgaben der Geometrie, welche manchmal zu erstaunlich überraschenden Ergebnissen führen, genauer betrachtet und es wird versucht diese "Kuriositäten" mit Hilfe neuester Geometrieprogramme zu veranschaulichen um somit einen neuen Einblick zu erhalten.<br /> Die Arbeit ist in drei Kapitel gegliedert.<br />Im ersten Kapitel meiner Arbeit wird die Thematik des Messens von Längen und Flächen aufgegriffen. Ausgehend von dem Verfahren der Berechnung der Länge einer Kurve durch Polygonapproximation, möchte ich zeigen, dass man die Länge einerseits über eingeschriebene Polygone und andererseits über tangential umschriebene Polygone ermitteln kann.<br />Im Raum widme mich ausführlicher dem Verfahren, welches eine gegebene Fläche in Dreiecke zerlegt und dadurch mit Summation der Flächen aller Teildreiecke eine Näherung für deren Inhalt liefert.<br />Im zweiten Kapitel meiner Arbeit beschäftige ich mich mit dem Kuriosum der Abwickelbarkeit der Sierpinski Pyramide in die Ebene. Üblicherweise ist die Differenzierbarkeit eine Voraussetzung bei der Abwicklung.<br />Aufbauend von der ebenen Fraktalen Geometrie wird der Begriff der Fraktalen Dimension erörtert. Dieser Dimensionsbegriff ermöglicht es erst, Fraktale nach gewissen Kriterien zu klassifizieren. Weitere verblüffende Zusammenhänge der Mathematik und der fraktalen Geometrie werden durch das Pascal'sche Dreieck gezeigt. Im dritten Kapitel geht es im Wesentlichen um das Würfelproblem von Prinz Ruprecht von der Pfalz. Das Kuriosum liegt hierbei darin, einen Würfel durch einen ebensogroßen Würfel durchzustoßen, ohne das der Ausgangswürfel in mehrere Einzelteile zerfällt. Um dieses Problem überhaupt lösen zu können, gehe ich den Umweg über das Problem der Dido, welches sich mit der ebenen isoperimetrischen Aufgabe beschäftigt.

With this work i want to have a short look about some classical problems of geometry, which bring sometimes some curiosity results. I want to give some new insights about this problems by using some modern geometry programms.<br />The work is divided into three chapters.<br />In the first chapter of my work, the issue of measuring lengths and areas is the main topic. Based on the method of calculating the length of a curve by Polygonapproximation, I want to show that measuring the length can be done with inscribed polygons and also determine on tangential circumscribed polygons.<br />In the space I dedicate to the procedure that decomposes a given surface into triangles, and thus delivers the summation of the areas of all triangles of an approximation for their content.<br />In the second chapter of my work, I deal with the curiosity of the Sierpinski pyramid unwindability in the plane. Typically, the differentiation is a prerequisite for processing. Building from the plane fractal geometry the concept of fractal dimension is discussed.<br />This concept of dimension is possible for the first fractals to classify according to certain criteria. More intriguing connections between mathematics and fractal geometry are shown by the Pascal's triangle.<br />The third chapter is essentially about the cube problem of Prinz Ruprecht von der Pfalz. The strange thing is this is a cube with an equally large cubes break through without the original cube is divided into several parts. To solve this problem at all, I'm going to go through the problem of Dido, which deals with the planar isoperimetric problem.