Symmetries and renormalization of noncommutative field theories

Abstract

This thesis deals with noncommutative field theories. The two main parts focus on renormalization, in particular the formulation and solution of the so-called UV/IR-mixing problem. The interjectional "Intermezzo" treats symmetries with respect to the Seiberg-Witten expansion of gauge theories. Part I: Chapter 1 introduces the problem, chapter 2 presents two simple proposals for a solution, first for the scalar theory, then for the vector gauge field theory. Intermezzo: Chapters 3 and 4 consider two aspects of the so-called Seiberg-Witten (SW-) map. This is an expansion of the noncommutative gauge field with respect to the noncommutativity parameter. Chapter 3 discusses the possibilities to construct the energy-momentum tensor of a SW-expanded gauge field theory. Chapter 4 formulates the SW-map for a noncommutative super Yang-Mills gauge theory. Part II: Chapters 5, 6 and 7 again focus on the UV/IR-mixing problem, now from a more fundamental point of view. The formalism of quantum field theory is constructed for both, noncommutative scalar and vector gauge field theory. A deviating definition of the time ordering restores unitarity and renormalizability without UV/IR-problems, which is demonstrated by means of the scalar field theory.

Die Dissertation beschäftigt sich mit nichtkommutativen Feldtheorien. Die beiden Hauptteile befassen sich mit Renormierung, konkret der Formulierung und Lösung des sogenannten UV/IR-Mischungs Problems. Eingeschoben ist ein Abschnitt über Symmetrien in Zusammenhang mit der Seiberg-Witten Abbildung von Eichfeldtheorien. Teil I: Kapitel 1 stellt das Problem vor, Kapitel 2 präsentiert zwei einfache Lösungsvorschläge zunächst für die skalare Theorie, dann für die Vektoreichfeldtheorie. Intermezzo: Die Kapitel 3 und 4 betrachten zwei Aspekte der sogenannten Seiberg-Witten (SW-) Abbildung. Dabei handelt es sich um eine Entwicklung des nichtkommutativen Eichfeldes nach Potenzen des Nichtkommutativitäts-Parameter. Kapitel 3 diskutiert die Möglichkeiten einer Konstruktion des Energie-Impuls-Tensors im Rahmen einer SW-entwickelten Eichfeldtheorie. Kapitel 4 formuliert die SW-Abbildung für den Fall einer nichtkommutativen super Yang-Mills Eichtheorie. Teil II: Die Kapitel 5, 6 und 7 betrachten abermals das UV/IR-mixing Problem, diesmal von wesentlich grundlegenderer Seite. Der Formalismus der Quantenfeldtheorie wird sowohl für die nichtkommutative skalare als auch für die nichtkommutative Vektoreichfeld-Theorie konstruiert. Eine abweichende Definition der Zeitordnung führt zu Unitarität und Renormierbarkeit ohne UV/IR-Probleme, wie anhand der skalaren Feldtheorie gezeigt wird.