Shift-invariant subspaces as linear relations on the Hardy space

Abstract

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit Hardy Räumen, deren Elemente skalare oder auch vektorwertige holomorphe Funktionen am Einheitskreis sind, und studiert darauf (verallgemeinerte) Multiplikationsoperatoren. Der klassische Fall des skalarwertigen Hardy Raums $H 2(\D)$ wird behandelt und seine Multiplier werden charakterisiert. Anschließend wird der vektorwertige bzw. matrixwertige Fall untersucht. Unter anderem ergibt sich dabei ein eleganter Beweis für den Satz von Beurling mit Mitteln der Operatortheorie. Zuletzt werden verallgemeinerte Multiplikationsoperatoren, nämlich lineare Relationen, mit gewissen Invarianzeigenschaften betrachtet und mit Hilfe des Satzes von Beurling beschrieben.<br />

This work deals with Hardy spaces, which contain scalar or vector-valued holomorphic functions on the unit disk, and studies (generalised) multiplication operators on them. We first study the classical case of $H 2(\D)$ and find a characterisation of its multipliers. We subsequently analyse the vector-valued and matrix-valued case. In the process we find an elegant proof of Beurling's theorem using concepts from operator theory. Finally, generalised multiplication operators, i.e. linear relations, with certain invariance properties are considered and described with the help of Beurling's theorem.