Comparison of optimal and robust MIMO control concepts for active vibration damping of a flexible beam laboratory setup

Abstract

In this work optimal and robust control design methods are utilized for active damping of bending vibrations of a simply supported thin structural aluminium beam with rectangular cross-section. For this purpose a multi-input multi-output (MIMO) control system setup is used, comprising four collocated piezo patch actuators and sensors acting in longitudinal direction. They introduce a shear force respectively measure the outer fiber strain. An electrodynamic shaker is used to introduce a disturbance force in the direction of oscillation. Nonlinear effects, especially the hysteresis of the piezo patch actuators and sensors are disregarded which is justified for this particular setup.<br />Because the flexible beam has low-damped oscillatory modes already at low frequencies, it can be considered a typical component of a lightweight construction where active control concepts play an increasingly important role. The focus of this work is to study the suitability of model-based feedback control design methods (specifically: LQG control, mixed-sensitivity H∞ [H tief ∞] control, H∞ [H tief ∞] loop-shaping control and D(G)K-synthesized control) for improving disturbance rejection of the experimental control system setup.<br />The design plants are obtained in two fundamentally different ways.<br />In the first modeling onset a measurement data-driven system identification is utilized, where measured input and associated output data are utilized by algorithms to build mathematical (black-box) models of dynamical systems applying statistical methods. In particular, the subspace algorithm n4sid of the MATLAB® [MATLAB hoch ®] System Identification ToolboxTM [Toolbox hoch TM] is used to identify a stable, linear time-invariant (LTI), MIMO state-space model in discrete-time.<br />The second approach is to obtain a (continuous-time) model via the finite element method (FEM). "Hermitian beam elements" (i.e.<br />Euler-Bernoulli beams with Hermitian shape functions) are utilized to discretize the bending beam. The actuators are modelled by moment inputs. Collocation of sensors and actuators leads to a non-zero feed-through matrix. It is shown that the influence of a mounted shaker can be modelled by a feedback loop utilizing acceleration and displacement outputs and a force input. Detailed validation of the obtained finite element (FE) model (in terms of its static solution, eigenfrequencies, and eigenvectors) is carried out. Furthermore, the comparison of both models reveals a surprisingly good match.<br />Extensive controller design studies are carried out based on both models and validated on the experiment. It turns out that the identified model as design plant for the mentioned design methods, excellent results can be achieved. Moreover, also the in an analytical manner obtained FE model is suitable for controller design to some extent, which at the beginning of this work was in question. However, in order to attain satisfying improvements in structural mode damping utilizing the FE model as design plant, increased effort in uncertainty modeling is required.

In dieser Arbeit werden optimale und robuste Regelkonzepte zur aktiven Dämpfung der Biegeschwingungen eines beidseitig gelenkig gelagerten, dünnen Aluminiumbalkens mit rechteckigem Querschnitt entworfen, getestet und verglichen. Zu diesem Zweck wird ein "multi-input multi-output" (MIMO) Regelsystem mit vier in Längsrichtung wirkenden kollokierten Piezo-Patch-Aktoren und Sensoren verwendet, welche eine Schubkraft einbringen bzw. die Randfaserdehnung messen. Ein elektrodynamischer Rüttler wird zur Einbringung einer Störkraft in Schwingungsrichtung verwendet. Nichtlineare Effekte, insbesondere die Hysterese der Piezo-Patch-Aktoren und Sensoren werden nicht näher berücksichtigt bzw. modelliert, was für diesen speziellen Aufbau gerechtfertigt ist.<br />Da der biegeweiche Balken bereits bei niedrigen Frequenzen gering gedämpfte Schwingungsmoden aufweist, kann er als eine typische Komponente einer Leichtbaukonstruktion angesehen werden, bei denen aktive Regelkonzepte eine zunehmend wichtige Rolle spielen.<br />Der Schwerpunkt dieser Arbeit ist es, die Eignung modellbasierter Regler-Entwurfsmethoden (im Speziellen: LQG Regelung, mixed-sensitivity H∞ [H tief ∞] Regelung, H∞ [H tief ∞] loop-shaping Regelung und D(G)K synthetisierte Regelung) in Hinblick auf die erzielbare Verbesserung bei der Störgrößenunterdrückung am experimentellen Regelprüfstand zu untersuchen.<br />Die Modelle zur Reglerauslegung werden hierzu auf zwei grundlegend verschiedene Arten erhalten.<br />Das erste Modell wird durch ein messdatenbasiertes Verfahren namens Systemidentifikation erstellt, bei dem gemessene Eingangs- und dazugehörige Ausgangsdaten von Algorithmen verwendet werden um mathematische (black-box) Modelle von dynamischen Systemen, unter Verwendung von statistischen Methoden, zu generieren. Speziell wird hierzu der Unterraum-Algorithmus n4sid der MATLAB® [MATLAB hoch ®] System Identification ToolboxTM [Toolbox hoch TM] verwendet, um stabile, lineare MIMO Zustandsraummodelle im diskreten Zeitbereich zu identifizieren.<br />Der zweite Ansatz besteht darin, ein (zeitkontinuierliches) Modell über die Methode der Finiten Elemente (FEM) zu erhalten. "Hermite'sche Balkenelemente" (d.h. Euler-Bernoulli-Balken mit Hermite'schen Ansatzfunktionen) werden verwendet, um den Biegebalken zu diskretisieren. Die Aktoren werden mittels Moment-Eingängen modelliert.<br />Kollokation von Sensoren und Aktoren führt zu einer von der Nullmatrix verschiedenen Durchgangsmatrix. Es wird gezeigt, dass der Einfluss eines montierten Rüttlers durch eine Rückkopplungsschleife modelliert werden kann, welche von einem Beschleunigungs- und Verschiebungs-Ausgang und einem Kraft-Eingang Gebrauch macht. Eine detaillierte Validierung der erhaltenen Finite-Elemente (FE) Modelle (in Bezug auf ihre statische Lösung, Eigenfrequenzen und Eigenvektoren) wird durchgeführt. Darüber hinaus zeigt der Vergleich der beiden Modelle eine überraschend gute Übereinstimmung.<br />Basierend auf beiden Auslegungsmodellen werden umfangreiche Regler-Auslegungsstudien durchgeführt und im Experiment validiert. Es stellt sich heraus, dass mit dem identifizierten Modell als Auslegungsmodell für die genannten Reglerentwurfsverfahren ausgezeichnete Ergebnisse erzielt werden können. Darüber hinaus ist auch das auf analytischem Wege erhaltene FE Modell zu einem gewissen Grad zur Reglerauslegung geeignet, was zu Beginn dieser Arbeit fraglich war. Um jedoch zufriedenstellende Ergebnisse bei der Dämpfung der Schwingungsmoden erzielen zu können, muss, wenn das FE Modell als Reglerentwurfsmodell verwendet wird, ein erhöhter Aufwand bei der Modellierung von Unsicherheiten in Kauf genommen werden.<br />