Affine processes : theory and applications in finance

Abstract

Die Klasse der affinen Prozesse, von Duffie, Filipovic und Schachermayer eingeführt, besteht aus allen Markov-Prozessen in stetiger Zeit, deren logarithmierte charakteristische Funktion auf affine Weise vom anfänglichen Zustandsvektor des Prozesses abhängt. Im ersten Teil der Dissertation zeigen wir, dass jeder affine Prozess auch ein Feller-Prozess ist. Wir stellen einen alternativen Beweis für das Hauptresultat von Duffie et. al. vor - unter einer zusätzlichen Regularitätsvoraussetzung kann die Klasse der affinen Prozesse komplett über den infinitesimalen Generator charakterisiert werden, und die charakteristische Funktion des Prozesses erfüllt eine gewöhnliche Differentialgleichung vom verallgemeinerten Riccati-Typ. Anschließend schlagen wir zwei hinreichende Bedingungen für die Regularität eines affinen Prozesses vor. Die zweite dieser Bedingungen definiert die Unterklasse der "analytischen affinen Prozesse". Diese Prozesse haben interessante zusätzliche Eigenschaften: Die verallgemeinerten Riccati-Gleichungen können durch analytische Fortsetzung erweitert werden, und beschreiben dann die zeitliche Entwicklung der Momente und Kumulanten des Prozesses. Schließlich zeigen wir dass Projektion, Integration in der Zeit, Exponentielle Maßwechsel, sowie Subordination eines unabhängigen Levy-Prozesses, die affine Eigenschaft erhalten. Im zweiten Teil der Dissertation wenden wir uns den Anwendungen affiner Prozesse zur Modellierung von stochastischer Volatilität zu. Wir definieren die Klasse der "affinen stochastischen Volatilitätsmodelle" (ASVM), welche eine Vielzahl von bekannten stochastischen Volatilitätsmodellen einschließt, darunter das Modell von Heston, die Modelle von Bates (1996 u.<br />2000) und das Barndorff-Nielsen-Shephard-Modell. Wir leiten Resultate über das Langzeitverhalten des Preis- und des stochastischen Varianzprozesses in ASVMs her, und untersuchen Momentenexplosionen des Preisprozesses. Schließlich diskutieren wir mögliche Anwendungen dieser Resultate, beispielsweise auf die Asymptotik der impliziten Volatilitätsfläche.<br />

The class of affine processes has been introduced by Duffie, Filipovic and Schachermayer, and consists of all continuous-time Markov processes, whose log-characteristic function depends in an affine way on the initial state vector of the process.<br />In the first part of the thesis we show that any affine process is also a Feller process.<br />We give an alternative proof for the main result of Duffie et. al. -- under an additional regularity condition, the class of affine processes can be completely characterized in terms of the infinitesimal generator, and the characteristic function of the process satisfies an ODE of the generalized Riccati type.<br />Subsequently we introduce two sufficient conditions for regularity. The second of these conditions defines a subclass of affine processes, that we call 'analytic affine'. These processes have the property that the generalized Riccati equations can be analytically extended to a subset of the real numbers, where they describe the time-evolution of moments and cumulants of the process. Finally we show that the operations of projection, time-integration, exponential change of measure, and subordination of an independent Levy process all preserve the affine property. In the second part of the thesis we turn towards applications of affine processes to the modelling of stochastic volatility. We define the class of 'affine stochastic volatility models' (ASVMs), which includes a multitude of stochastic volatility models that have been proposed in the literature, including the Heston model, the models of Bates (1996 and 2000), and the Barndorff-Nielsen-Shephard model.<br />We derive results on the long-term behavior of an ASVM, and study moment explosions of the price process. We conclude with a discussion of possible applications of these results, for example to derive asymptotics of the implied volatility surface.<br />