Metric regularity in model predictive and optimal control

Abstract

Die Stabilität von optimalen Lösungen ist ein zentrales Thema in der Kontrolltheorie. In dieser Thesis untersuchen wir hinreichende Bedingungen für verschiedene Stabilitätsbegriffe im Kontext optimaler Kontrolletheorie. Unter einigen strukturellen Annahmen kann ein Optimalsteuerungsproblem mit einer mengenwertigen Abbildung, der sogenannten Optimalitätsabbildung, assoziiert werden, die die notwendigen Bedingungen erster Ordnung des Problems darstellt. Das Konzept der metrischen Regularität abstrahiert die verschiedenen Stabilitätsbegriffe in Eigenschaften der Optimalitätsabbildung. Diese Dissertation untersucht erweiterte Versionen der bekannten metrischen Regularitätseigenschaften und deren Wechselwirkung mit Optimalsteuerungsproblemen; Wir veranschaulichen auch die Rolle der Stabilität mit einigen Anwendungen in der numerischen Analyse. Diese Arbeit ist kumulativ; Es besteht aus einer Einleitung und vier Artikeln. Die Einführung ist als Ergänzung zu den Artikeln gedacht, indem sie sowohl eine angemessene Einleitung als auch eine Zusammenfassung der in den Artikeln erzielten Ergebnisse liefert.Die erste Arbeit \cite{Bim19} untersucht eine stärkere Version der sogenannten \emph{strong metric regularity} bei der optimalen Kontrolle von gewöhnlichen Differentialgleichungen. Dieser Begriff ermöglicht es, stärkere Stabilitätsbegriffe als die vorherigen in der Literatur zu untersuchen, und eignet sich für eine Klasse von Problemen (affine), für die die Standardannahmen nicht gelten. Ein Beispiel wird vorgestellt sowie eine Anwendung auf die numerische Analysis, das sogenannte \emph{uniform Euler discretization scheme}. Die zweite Arbeit \cite{MPCme} geht weiter in die Fehleranalyse numerischer Verfahren für nichtlineare Optimalsteuerungsprobleme und untersucht die Genauigkeit mittels der metrischen Subregularitätseigenschaft (eine erweiterte Version) der sogenannten Model Predictive Control (MPC )-Algorithmus, eine gut etablierte und weit verbreitete Feedback-Control-Strategie. Die dritte \cite{Ellipticpaper} und die vierte Arbeit \cite{Ellipticpaper2} schließlich widmen sich beide der Stabilitätsanalyse von Optimalsteuerungsproblemen, die durch elliptische partielle Differentialgleichungen eingeschränkt sind. Die dritte untersucht in einem allgemeinen Rahmen die Subregularitätseigenschaft, wobei der Schwerpunkt auf ihren hinreichenden Bedingungen und ihren Anwendungen auf die Stabilität von Kontrolllösungen liegt. In der vierten werden neue Annahmen in Form von hinreichenden Bedingungen zweiter Ordnung für Optimalität in die Literatur eingeführt; außerdem ist bewiesen, dass diese Annahmen für die Stabilität optimaler Zustände hinreichend sind. Obwohl die Subregularitätseigenschaft im letzten Artikel nicht explizit erwähnt wird, stammen alle dort verwendeten Methoden aus ihrem Verständnis und ihrer entsprechenden Übersetzung in die Stabilitätsanalyse der optimalen Zustände.

The stability of optimal solutions is a central issue in control theory. In this thesis we study sufficient conditions for various notions of stability in the context of optimal control. Under some structural assumptions, an optimal control problem can be associated with a set-valued mapping, the so-called optimality mapping, which represents the first-order necessary conditions of the problem. The concept of metric regularity abstracts the different notions of stability into properties of the optimality mapping. This thesis studies enhanced versions of the known metric regularity properties and their interaction with optimal control problems; we also illustrate the role of stability with some applications in numerical analysis. This work is cumulative; it consists of an introduction and four published or accepted journal articles. The introduction is intended as a complement to the papers, providing adequate preliminaries as well as a summary of the results obtained in the papers.The first paper studies a stronger version of the so-called strong metric regularity property in optimal control of ordinary differential equations. This notion allows to study stronger notions of stability than the previous ones in the literature, and is suitable for a class of problems (affine with respect to the control variable) for which the standard assumptions do not hold. An example is presented as well as an application to numerical analysis, namely the so-called uniform Euler discretization method. The second paper goes further in the error analysis of numerical methods for nonlinear optimal control problems and studies the accuracy, by means of the metric subregularity property, of the so-called Model Predictive Control (MPC) algorithm, a well-established and widely approach for generating feedback control strategy. Finally, the third paper and the fourth one are both dedicated to the stability analysis of optimal control problems constrained by elliptic partial differential equations. The third one studies in a general framework the subregularity property, focusing on sufficient conditions and applications to the stability of optimal solutions. In the fourth one, new assumptions are introduced in the literature in form of second order sufficient conditions for optimality; moreover, it is proved that this assumptions are enough for stability of the optimal states. Though the subregularity property is not explicitly mentioned in the last paper, all of the methods used there come from the understanding of it and its corresponding translation to the stability analysis of the optimal states.