Finite Differenzen Verfahren zur numerischen Lawinensimulation

Abstract

Diese Diplomarbeit formalisiert das zweidimensionale Lawinensimulationsmodell ELBA (Energy Line Based Avalanche) und präsentiert neu erstellte, auf bewährten numerischen Verfahren basierende Testimplementierungen mit MATLAB. ELBA gründet auf einem modifizierten Reibungsansatz nach Voellmy mit einer trockenen, und einer geschwindigkeitsabhängigen, dynamisch ermittelten, turbulenten Reibungskomponente. Das Modell beschreibt ein Newtonsches Fluid mit den Annahmen der Flachheit, Inkompressibilität, Isothermalität, sowie dimensionsabhängigen Größen. Es wird von einer Eulerschen Sichtweise des Fluids ausgegangen. Für diese Kräfte und Voraussetzungen wird ein System von partiellen Differentialgleichungen hergeleitet.<br />Das Berechnungsschema der bisherigen Implementierung, des auf beliebigen Topographien einsetzbaren kommerziellen Lawinensimulators ELBA+, wird detailliert aufgezeigt. Es handelt sich um ein diskretes Verfahren anlehnend an zelluläre Automaten und explizite Finite Differenzen Methoden. Da es in ELBA+ häufig zu ungeklärten Oszillationen kommt und eine Abhängigkeit von der Gitterauflösung besteht, wird eine Neuimplementierung angestrebt. Zu diesem Zweck werden klassische sowie moderne Finite Differenzen Verfahren diskutiert. Von den hochauflösenden numerischen Methoden werden jene dargelegt die sich nach eingehender Literaturrecherche zur Fluid- und Lawinendynamik als adäquates Werkzeug zur Lösung konvektionsdominanter Strömungen erwiesen: TVD (Total Variation Diminishing) Lax-Friedrichs Methoden und das vielfach zur Simulation des Savage-Hutter-Modells eingesetzte NOC (Non-Oscillatory Central) Schema.<br />Numerische Experimente der in MATLAB implementierten Verfahren zur Lösung des hergeleiteten Differentialgleichungssystems werden in ein- und zweidimensionalen Testreihen auf einfachen Topographien durchgeführt und evaluiert. Wie sich herausstellt liefert das NOC Schema mit TVD Minmod Limiter die befriedigendsten Ergebnisse: keine Oszillationen, wenig bis keine Diffusion.<br />

This thesis formalises the two-dimensional avalanche simulation model ELBA (Energy Line Based Avalanche) and presents new test implementations in MATLAB which are based on established numerical methods. ELBA utilizes a modified Voellmy friction approach, with both a dry and a velocity-dependent, dynamically calculated, turbulent friction component. The model describes a Newtonian fluid, assuming shallowness, incompressibility, isothermality, and dimension-dependent quantities.<br />The fluid is treated from a Eulerian point of view. A system of partial differential equations is derived to fit this set of forces and premises.<br />The algorithm of the present implementation, the commercial avalanche simulator ELBA+, applicable to arbitrary topography, is demonstrated in detail. This discrete simulator's calculation procedure follows cellular automata and explicit finite difference schemes. Unexplained oscillations which appear often in ELBA+, and the dependency of the algorithm on grid resolution, necessitate a new implementation. For this reason, classic as well as modern finite difference methods are discussed. Some high-resolution schemes are presented which proved suitable for solving convectively dominated flows in recent publications on fluid- and avalanche-dynamics: TVD (Total Variation Diminishing) Lax-Friedrichs methods, and the NOC (Non-Oscillatory Central) scheme, which is frequently used in simulating the Savage-Hutter model.<br />Numerical experiments which make use of these methods, implemented in MATLAB for solving the derived system of differential equations, are conducted and evaluated in one and two-dimensional series of tests on simple topographies. As it turns out, the NOC scheme with TVD Minmod limiter provides the best results, with no oscillations and little to no diffusion.