On decay rates in linear kinetic equations with defects

Abstract

Die vorliegende Arbeit widmet sich der Analyse des Langzeitverhaltens von Lösungenlinearer kinetischer Gleichungen mit Defekten. Dabei stehen zwei Modelle im Mittelpunkt:Die degenerierte Fokker–Planck Gleichung und die Goldstein–Taylor Gleichung(ein Transport-Relaxationsmodell von BGK Typ), welche beide hypokoerzive Dynamikenvorweisen. Unser spezieller Fokus sind die “defekten Fälle” dieserModelle. Die Terminologieorientiert sich hierbei an endlichdimensionalen gewöhnlichen Differentialgleichungen(GDG) mit ähnlichem Verhalten. Dort impliziert eine nicht diagonalisierbarelineare Systemmatrix, im Englischen als “defective matrix” bezeichnet, ein Abklingverhalten,das einem exponentiellen Term multipliziert mit einem Polynom entspricht.Um explizite Abschätzungen für das Langzeitverhalten von Lösungen der genanntenGleichungen zu erlangen, konstruieren wir neue Lyapunov Funktionale fürEntropiemethoden und kombinieren Resultate nicht-symmetrischer Spektraltheorie.

This thesis is devoted to the analysis of the long-time behaviour of solutions to linearkinetic equations with defects. The two main models of interest are the degenerateFokker–Planck equation and the Goldstein–Taylor system(a two velocity transportrelaxationmodel of BGK-type), which both exhibit hypocoercive dynamics. The thesisfocuses on the defective cases that occur in these models, which, much like finite dimensionaldefective ODEs, imply a polynomial times exponential decay of solutions.To obtain explicit estimates on the decay behaviour of solutions, we construct tools forentropy methods and utilise spectral theory in a non-symmetric setting.