Numerical treatment of implicit singular BVPs

Abstract

Das wichtigste Ziel dieser Dissertation war die Entwicklung und Implementierung eines effizienten Computercodes zur Lösung von Randwertproblemen für Systeme gewöhnlicher, singulärer Differentialgleichungen, speziell mit essentieller Singularität. Singuläre Modelle kommen häufig in Anwendungen in der Technik und in den Naturwissenschaften vor. Beispiele dafür sind quasilineare parabolische Gleichungen, die nichtlineare Schrödingergleichung oder die Ginzburg-Landau Gleichung. Viele dieser Probleme sind mit Hilfe von partiellen Differentialgleichungen modelliert, die unter bestimmten Voraussetzungen auf gewöhnliche Differentialgleichungen transformiert werden können.<br />Randwertprobleme für Systeme von gewöhnlichen Differentialgleichungen, die in dieser Arbeit behandelt wurden, liegen im Allgemeinen in impliziter Form vor und sind parameterabhängig. In der Praxis müssen sie oft auf einem unendlichen Intervall gelöst werden. Normalerweise geschieht dies auf einem entsprechend langen, abgeschnittenen Intervall. Leider funktioniert diese direkte Methode sehr oft nur unzureichend, da es schwierig ist, auf dem rechten Ende des Intervalls die korrekte Randbedingung zu stellen, was eine ungenaue numerische Lösung zur Folge hat. Durch die Transformation auf ein endliches Intervall erhält man häufig eine Differentialgleichung mit essentieller Singularität.<br />Der frei verfügbare Matlab-Code bvpsuite, der im Zuge dieser Dissertation entwickelt wurde, kann mit derartigen Problemen umgehen. Zusätzlich können gemischte Systeme beliebiger Ordnung mit unbekannten Parametern direkt in impliziter Form gelöst werden. Auch ein Fehlerschätzer und eine darauf basierende automatische Gittersteuerung sind implementiert.<br />Die Jakobimatrix kann automatisch erzeugt werden und eine graphische Benutzeroberfläche sind bereitgestellt. Die Kurvenverfolgung für parameterabhängige Probleme ist so implementiert, dass Umkehrpunkte zugelassen sind.<br />Die Arbeit befasst sich zuerst mit dem mathematischen Hintergrund der Implementierung des Codes. In weiterer Folge wird die Benützung des Programms für den Anwender beschrieben. Es folgt die detaillierte Analyse zur Leistungsfähigkeit des Codes, die an mehreren Anwendungsbeispielen aus der Praxis illustriert wird. Zum Abschluss wird noch ein kurzer Überblick über den derzeitigen Stand der analytischen Resultate gegeben.<br />

The main aim of my Ph. D. thesis was the development and implementation of an efficient computer code to solve singular boundary value problems for systems of ordinary differential equations with singularities, especially with the essential singularity. Singular models frequently arise in applications from natural and technical sciences. Quasi-linear parabolic equations for example, occur in turbulent diffusion, in the flow of a non-Newtonian fluid, and in models for the temperature profile of a fusion reactor plasma.<br />The nonlinear Schr¨odinger equation (NLS) arises in nonlinear optics or plasma physics and the Ginzburg-Landau equation (CGL) is its complex-valued perturbation. Many of these problems are modelled by partial differential equations which can under certain circumstances be transformed to systems of ordinary differential equations.<br />Boundary value problems for systems of ordinary differential equations which have been considered in this work, are in general, given in the implicit form and are parameter dependent. In practice, these problems often need to be solved on an infinite interval. The usual technique in such a case is to solve them on a appropriately long truncated interval. Unfortunately, this straightforward idea often does not work satisfactorily, because it is difficult to specify the correct boundary conditions at the right end of the truncated interval and consequently, the numerical solution becomes unreliable.<br />The transformation of such problems to a finite integration interval by change of the independent variable results in differential equations with essential singularity.<br />The open domain Matlab code bvpsuite, that has been developed within this thesis can dependably cope with essential singularities and is also directly applicable to implicit, mixed-order systems with unknown parameters.<br />It provides an error estimate for the involved polynomial collocation scheme and an automatic mesh adaptation. Automatic Jacobian-generation is included as well as full Graphical User Interface (GUI). For parameter dependent problems a pathfollowing strategy is implemented in such a way that moving around the so-called turning points in the solution-parameter path is taken care of automatically. The code can also be applied to differential- algebraic equations of index 1.<br />In the appendix, the state of analytical research is enclosed for completeness.<br />The first version of the Matlab code sbvp1.0 has been developed at the Institute for Analysis and Scientific Computing at the Vienna University of Technology in the research group of Ewa Weinm¨uller and published in 2002, cf. http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/. This program was designed to deal with systems of explicit first order differential equations with a singularity of the first kind. However, looking at the applications, it was clear that many important models are governed by systems of differential equations with an essential singularity (singularity of the second kind). Here, both, large parts of the theory and an open domain code were still missing. The goal of my Ph. D. thesis was to close the latter gap by implementing a new Matlab code, bvpsuite.