Spectral theory for nonlinear operators

Abstract

Es wird eine Spketraltheorie für nichtlineare Operatoren entwickelt, die die klassische Spektraltheorie für lineare Operatoren als Spezialfall enthält. Vorbereitend werden einige Ergebnisse über nichtlineare Operatoren bewiesen. Wir führen charakteristische Größen für nichtlineare Operatoren ein und zeigen ihre grundlegenden Eigenschaften. Es wird weiters das Konzept mengenwertiger Funktionen betrachtet.<br />Im Folgenden werden FMV-reguläre Operatoren und das FMV-Spektrum für nichtlineare Operatoren definiert und seine topologischen Eigenschaften gezeigt. Auf spezielle Klassen von Operatoren wird genauer eingegangen.<br />Da Eigenwerte in dieser Theorie eine untergeordnete Rolle spielen, führen wir approximative Eigenwerte ein, die deren Rolle übernehmen. Es werden drei Andwendungen dieser Theorie gezeigt. Zunächst werden Abbildungen auf Sphären mit Hilfe dieser Spektraltheorie untersucht.<br />Weiters wird anhand eines Beispiels gezeigt, wie sie dazu verwendet verwendet werden kann, um die Existenz von Lösungen von nichtlinearen Differentialgleichungen zu sichern. Wir geben auch Voraussetzungen an, um die Beschränktheit von Lösungen von nichtlinearen gewöhnlichen Differentialgleichungen zu sichern. Abschließend wird mit Hilfe von approximativen Eigenwerten eine nichtlineare Version der Fredholmalternative eingeführt, und es werden mehrere Klassen von Operatoren identifiziert für die sie anwendbar ist.<br />

We develop a spectral theory for nonlinear operators which includes the classical linear spectral theory as a special case.<br />Preliminary results about nonlinear operators are proven. We introduce different characteristics for nonlinear operators und show their basic properties. Furthermore, we consider the concept of set-valued maps. In the following we define FMV-regular operators and the FMV-spectrum for nonlinear operators and show its topological properties. Special classes of operators are examined more closely. Since eigenvalues do not play an important role in this theory, we introduce approximate eigenvalues which take over the part of eigenvalues. We show three applications of this theory. First, we study maps onf spheres with the help of this spectral theory. Moreover, we show by an example how it can be used to assure the existence of solutions to nonlinear differential equations. We also give conditions that guarantee the boundedness of solutions of nonlinear ODEs. Finally, with the help of approximate eigenvalues we introduce a nonlinear version of the Fredholm alternative and identify various classes of operators for which it can be applied.