The Hard Lefschetz Theorem

Abstract

Ziel diese Diplomarbeit ist eine vollständige Aufarbeitung des Beweises des Hard Lefschetz Theorems in der Version von Bernig und Bröcker.<br />Zuerst werden die grundlegenden Begriffe erklärt, wie z.B. das Hausdorffmaß und rektifizierbare Mengen. Integration über rektifizierbare Mengen wird definiert. Ströme, also stetige linerare Funktionale auf Differentialformen werden eingeführt. Normalenkegel und Konormalenkegel konvexer Mengen werden definiert. Wir zeigen, dass diese Mengen rektifizierbar sind, daher können Differentialformen darüber integriert werden. Die Ströme, die durch diese Definition entstehen, verhalten sich in gewisser Weise wie die zugehörigen Kegel. Wir zeigen, dass diese Ströme stetig sind und die Bewertungs-Eigenschaft erfüllen.<br />Aus dem Irreduzibilitätstheorem von Alesker und dem Casselman-Wallach Theorem folgt, dass glatte, translationsinvariante Bewertungen als Integrale von fixen Differentialformen über den Normalen- oder Konormalenzykel geschrieben werden können.<br />Das Hard Lefschetz Theorem wird bewiesen unter Verwendung der Darstellung einer Bewertung über den Normalenzykel und des Kernel Theorems, einem Resultat von Bernig und Bröcker. Zuletzt wird noch eine andere Version des Hard Lefschetz Theorems angegeben, die auf der Fouriertransformation von Bewertungen beruht.<br />

The goal of this diploma thesis is to give the full proof of the Hard Lefschetz Theorem by Bernig and Bröcker.<br />First we will collect the basic notions used throughout this thesis, the Hausdorff measure and rectifiable sets. Integration of differential forms over rectifiable sets is then defined in analogy with integration over manifolds. The space of currents, i.e. of continuous linear functionals on differential forms is introduced.<br />We define the normal and conormal cones of convex sets and show that they are rectifiable. Therefore integration of differential forms over these sets can be defined. The currents introduced by this integration behave in many ways like the cones and therefore it is natural to think of the normal cone as a functional on differential forms. We show that it has the valuation property and that it is continuous. By the Irreducibility Theorem, a deep result established by Alesker, and by the Casselman-Wallach-theorem, it is possible to show that smooth translation invariant valuations can be represented by integrating a fixed differential form over the normal (or conormal) cycle of the set.<br />The Hard Lefschetz Theorem is proven, using the representation of a valuation via integration over the normal cycle and especially the Kernel Theorem, a result by Bernig and Bröcker. In the last section, another version of the Hard Lefschetz Theorem is stated, involving the Fourier transform on valuations.<br />