Generalisations of semigroups of operators in the view of linear relations

Abstract

Eine Pre-semigroup T ist eine stark stetige Abbildung definiert für alle t größer gleich 0 und mit Bild im Raum der beschränkten linearen Operatoren auf einem Banachraum X. Weiters sei T(0) injektiv und es gelte T(0)T(s+t)=T(s)T(t) für alle s,t größer gleich 0. Diese Verallgemeinerung von Operatorhalbgruppen wurde bereits 1966 von G. Da Prato eingeführt. Das Ziel dieser Arbeit ist es, eine geeignete Theorie zu entwickeln, ohne die Injektivität von T(0) zu fordern. Der infinitesimale Generator ist nun im Allgemeinen kein Operator. Deshalb greifen wir auf die Theorie der linearen Relationen, welche als Verallgemeinerungen von Operatoren gesehen werden können, zurück. Als Anwendung wird die sogenannte Differential Inclusion, eine Verallgemeinerung des Abstrakten Cauchy Problems, betrachtet.<br />

A strongly continuous function defined for all nonnegative numbers, with range in the space of bounded operators on a Banach space X is called a Pre-semigroup if T(0) is injective and T(0)T(t+s)=T(s)T(t) for all non-negative numbers s,t. This generalisation of a semigroup of operators was introduced by G. Da Prato in 1966. The goal of this Master's thesis is to weaken the notion of a Pre-semigroup. If T(0) is not injective, the proper generator does not need to be a single-valued operator any more. Therefore, the theory of Linear Relations, which can be seen as generalisations of linear operators, comes into play. As an application, the so-called Differential Inclusion, a generalisation of the Abstract Cauchy Problem, is considered.