Greens functions of Schrödinger operators with operator-valued potentials

Abstract

Für skalare lineare Differentialoperatoren zweiter Ordnung existiert eine wohlbekannte Formel für die Greensche Funktion, d.h. den Integralkern der Resolvente. Das Ziel dieser Diplomarbeit ist die Verallgemeinerung dieser Formel auf Schrödinger Operatoren der Form H =- d2/dr2 [zweite Ableitung nach r] +Q(r), definiert auf dem Raum der quadratintegrierbaren Funktionen mit Werten in einem separablen Hilbertraum H. Das Potential Q bilde stetig in den Raum der linearen Operatoren auf H ab.<br />Diese Schrödinger Operatoren treten in natürlicher Weise auf, wenn eine partielle Differentialgleichung im R3 [reeller dreidimensionaler Raum] in Kugelflächenfunktionen entwickelt wird. Der resultierende gewöhnliche Differentialoperator wirkt auf dem speziellen Hilbertraum H = L2(S2 ->C) [quadratintegrierbare Funktionen auf S2], wobei S2 die zweidimensionale Kugeloberfläche im R3 ist. In diesem Zusammenhang untersuchen wir die Symmetrie und die Reziprozität der Greenschen Funktion.<br />Das Hauptresultat ist aufgeteilt in den Fall regulärer und singulärer Endpunkte. In ersterem sind wir im Stande die zuvor erwähnte Formel auf Schrödinger Operatoren mit einem beliebigem beschränkten Operator als Potential zu verallgemeinern. Der wichtigste Schritt ist, ein passendes Fundamentalsystem des zugehörigen Differentialgleichungssystems erster Ordnung zu finden.<br />Im singulären Fall müssen wir uns auf matrixwertige Potentiale beschränken, als auch Bedingungen an die Art der Singularitäten an den Randpunkten stellen. Um das Resultat in der gewünschten Allgemeinheit zu beweisen, müssen wir die Theorie formaler Potenzreihen und asymptotischer Entwicklungen, sowie die Frobenius-Methode einführen.<br />Des Weiteren erarbeiten wir ein Kriterium, wann ein dicht definierter linearer Operator als Carleman-Integraloperator geschrieben werden kann.<br />Dieses Resultat ist unabhängig vom Rest der Arbeit, wobei es sich als nützliches Hilfsmittel für den singulären Fall erweist.<br />

For scalar second-order differential operators, there is a well-known formula for the Green's function, which is the integral kernel of the resolvent. The aim of this thesis is to generalise this formula to Schrödinger operators of the form H =- d2/dr2 [second derivative with respect to r] + Q(r), defined on the space of square-integrable functions with values in a separable Hilbert space H.<br />The potential Q maps continuously into the space of linear operators on H. These Schrödinger operators arise naturally, when a partial differential equation in R3 [real three-dimensional space] is decomposed into spherical harmonics, resulting in an ordinary differential operator on the particular Hilbert space H = L2(S2 ->C) [square-integrable functions on S2], where S2 is the two-dimensional sphere in R3. In this regard, the symmetry and the reciprocity of the Green's function are investigated.<br />The main result is split into the cases of regular and singular endpoints. In the former, we are able to generalise the aforementioned formula to Schrödinger operators with an arbitrary bounded operator as the potential Q. The key idea is to find a suitable fundamental system of the corresponding first-order differential equation.<br />In the singular case, we have to limit ourselves to matrix-valued potentials, and impose conditions on the kinds of singularities that may occur at the endpoints. To prove the assertion in the desired generality, we have to introduce the theory of formal power series and asymptotic expansions, in addition to the Frobenius method.<br />Furthermore, we derive a criterion for when a densely defined linear operator can be represented as a Carleman integral operator. This result is independent of the rest of the thesis, but proves to be a useful tool for the singular case.