Ein empirischer Vergleich von stochastischen Optionsbewertungsmodellen

Abstract

Volatilität ist eines der wichtigsten Merkmale in der Optionspreisbewertungstheorie. Das risikoneutrale Herangehen für die Optionspreisbewertung wurde zuerst von Black und Scholes 1973 vorgestellt. Das Black-Scholes-Modell hat ein großes Interesse geweckt und wird bis heute als meist verwendetes Modell akzeptiert. Obwohl das Black-Scholes-Modell in der Regel eine gute Preisbewertung liefert, haben die bisherigen wissenschaftlichen Arbeiten bewiesen, dass das Black-Scholes Modell auch einige Schwachstellen aufweist. Die zwei bekannten Schwachstellen sind der Volatilität-Smile und die Schiefe.<br />Black und Scholes nehmen in ihrem Modell an, dass die Optionen mit dem selben Underlyingpreis, Maturity und verschiedenen Strikepreisen dieselbe Volatilität besitzt. Jedoch ist die Volatilität in der Realität nicht konstant, wie im Black-Scholes Modell angenommen wird .sondern die deep-in-the money Optionen und deep-out-of-the-money Optionen haben eine höhere Volatilität.<br />Das verursacht eine Fehlbewertung der relevanten Optionen.<br />Die zweite Annahme im Black-Scholes-Modell ist die Normalverteilung der Aktienrenditen. In dieser Arbeit werden drei stochastische Volatilitätsmodelle und das Black-Scholes-Modell vorgestellt und miteinander verglichen. Als erstes Modell wird das Heston Modell, das von Heston (1993) entwickelt wurde, betrachtet. Bei diesem zeitstetigen stochastischen Volatilitätsmodell ist die Varianz durch einen stochastischen Prozess beschrieben. Es besteht einen Zusammenhang zwischen der Aktienrendite und der Volatilität. Das Heston-Modell hat eine geschlossene-Lösung. Daher wird das Heston- Modell auch im Finanzmarkt oft verwendet. Das zweite Modell ist das Garch-Modell von Heston und Nandi (2000). Das Garch-Modell berücksichtigt das stochastische Verhalten der Volatilität und die Korrelation zwischen den Aktienrenditen und der Volatilität. Als drittes Modell wird das Varianz-Gamma-Modell von Madan (1998) analysiert. Der Varianz-Gamma-Prozess ist rein Sprung-Prozess und die drei Parameter kontrollieren die Schiefe, Kurtosis und die Volatilität.<br />Analog zu den ersten beiden Modellen hat der Varianz-Gamma-Prozess auch eine geschlossene-Lösung.<br />