Analysis und Numerik eines gekoppelt nichtlinearen Populationsmodells

Abstract

Die Arbeit beschäftigt sich mit einem Populationsmodell, welches von Shigesada, Kawasaki und Teramoto vorgeschlagen wurde, um die zeitliche und örtliche Dynamik zweier interagierender Spezies zu beschreiben.<br />Es handelt sich dabei um ein gekoppeltes System nichtlinearer partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung.<br />Aufgrund der speziellen Gestalt der Gleichungen sind Standardmethoden nicht ausreichend, um globale Existenzresultate zu erhalten, ohne die Parameterbereiche stark einzuschränken.<br />Ein globales Existenzresultat in einer Raumdimension von Galiano, Garzón und Jüngel wird vorgestellt. Nach Symmetrisierung mit Hilfe einer Exponentialtransformation liefert eine Fixpunktmethode die Existenz einer semidiskreten Gleichung. Eine diskrete Entropie ermöglicht die nötigen Abschätzungen, um den Grenzübergang zum zeitstetigen Problem durchzuführen.<br />Es werden zwei unterschiedliche Verfahren vorgestellt, um das Problem in einer Raumdimension numerisch zu behandeln. Eines der beiden verwendet finite Elemente und ein iteratives Verfahren, um eine Lösung des semidiskreten Problems zu approximieren. Die andere Methode nutzt eine FEM-Diskretisierung eines transformierten Problems und ein Newton-Verfahren.<br />Anhand von Beispielen werden verschiedene Effekte des Modells untersucht und beschrieben. Danach werden die vorgestellten Verfahren verglichen.<br />Eine Verallgemeinerung der ersten Methode auf zwei Dimensionen wird durchgeführt und erneut anhand von Beispielen untersucht.<br />

This work deals with a population model proposed by Shigesada, Kawasaki and Teramoto which describes the dynamics of interacting species in a spatially inhomogenous setting.<br />It consists of a system of coupled nonlinear partial differential equations of second order.<br />Due to the special properties of the equations, standard methods are not sufficient to prove global existence results wile dealing with general cases of parameter values.<br />A global existence result in one space dimension by Galiano, Garzón and Jüngel is presented. After symmetrization by means of an exponantial transform, a fixed point method yields existence of the semidiscrete equation. A discrete entropy is used to obtain estimates which allow passing to the limit. Two different methods for dealing with the problem in one space dimension numerically are presented. One uses an iterative finite element method to approximate a solution of the semidiscrete problem The other applies a FEM-discretization to the transformed problem and takes advantage of Newton's method.<br />Various examples describe different effects of the model. Further more, the two methods are compared.<br />Finally, a generalization of the first method to the two dimensional case is used to again investigate properties of the model by means of numerical examples.