Defect-based error estimation for higher order differential equations

Abstract

Basierend auf dem Begriff des exakten Differenzenschemas konstruieren wir einen asymptotisch korrekten Schätzer für den globalen Fehler der numerischen Approximation eines Randwertproblems für eine gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung, wobei der Defekt der numerischen Lösung in Bezug auf ein exaktes Differenzenschema lokal interpoliert und ein Nachbarproblem mit dieser Inhomogenität gelöst wird.<br />Eine Implementierung basierend auf geeigneter numerischer Quadratur zur Defektauswertung liefert einen robusten und effizienten, asymptotisch korrekten a posteriori Fehlerschätzer auf nicht-äquidistanten Gittern, der geeignet für den Einsatz als Teil eines adaptiven Randwertproblem-Lösers ist.<br />Diese Art der Fehlerschätzung wird für den Fall polynomialer Kollokation realisiert. Die konkrete Realisierung des Fehlerschätzers wird diskutiert und dessen asymptotische Korrektheit bewiesen, wobei der Fehler des Fehlerschätzers für ein Kollokationsverfahren in p inneren Punkten im Allgemeinen Ordnung O(h (p+2)) zeigt. Das theoretische Resultat wird durch einige numerische Beispiele illustriert, die auch singuläre und advektions-dominierte Probleme einschließen.<br />

Based on the notion of exact finite difference schemes, the error of a given approximation to a boundary value problem can be estimated by computing its defect with respect to the exact finite difference schemes, possibly after local reconstruction via interpolation, and solving back for the estimate using a simple finite difference scheme. An implementation using appropriate quadrature for defect evaluation yields a robust and efficient, asymptotically correct a posteriori error estimate. In particular, it is designed to work on arbitrary, non-equidistant meshes, useful for its deployment in adaptive schemes.<br />This way of estimating the error is presented for the particular case of collocation approximations to second order two-point boundary value problems. The particular construction of the estimator is discussed and the proof of its asymptotical correctness for h→0 is given, with a O(h (p+2)) deviation for a collocation scheme at p arbitrary interior collocation points. We also give several numerical examples to illustrate the theory, including singular advection-dominated ordinary differential equations.<br />