Control of parabolic partial differential equations based on semi-discretizations

Abstract

Die vorliegende Arbeit behandelt den modellbasierten Vorsteuerungsentwurf für Systeme, die durch quasilineare parabolische partielle Differentialgleichungen in ein- und zweidimensionalen Ortsgebieten beschrieben werden. Dabei liegt das Hauptaugenmerk auf der Realisierung von Arbeitspunktwechseln entlang vorgegebener Referenztrajektorien. Die Entwurfsmethodik basiert auf der Semidiskretisierung der partiellen Differentialgleichung mithilfe geeigneter finiter Differenzen Schemata. Für den Fall eines Randeingriffs wird dabei für allgemeine Nichtlinearitäten gezeigt, dass das resultierende System gewöhnlicher Differentialgleichungen differentiell flach ist. Diese Eigenschaft ermöglicht die differentielle Parametrierung sämtlicher Zustands- und Eingangsgrößen durch den flachen Ausgang und dessen Zeitableitungen und damit die Entwicklung eines systematischen Ansatzes zur Lösung der Trajektorienplanungs- und Vorsteuerungsaufgabe. Die Struktur der Semidiskretisierung ermöglicht zudem eine sehr effiziente Realisierung des Entwurfsverfahrens mithilfe von Computeralgebrasystemen auch bei komplizierten Nichtlinearitäten.<br />Zwei Aspekte der beschriebenen Methodik werden besonders beleuchtet.<br />Einerseits wird durch analytische Untersuchungen nachgewiesen, dass die flache Parametrierung für verschwindende Diskretisierungsschrittweiten die unendlich-dimensionale Systemdynamik wiedergibt. Bedingungen für die Konvergenz der resultierenden unendlich-dimensionalen flachen Parametrierung werden für einige Systemklassen gesondert hergeleitet.<br />Andererseits werden numerische Werkzeuge vorgestellt, mit denen das Konvergenzverhalten der Parametrierungen empirisch untersucht werden kann und die die Anwendung der vorgestellten Methoden auf eine breitere Systemklasse ermöglichen. Dies umfasst zum einen Verfahren zur adaptiven Anpassung der Schrittweite der Semidiskretisierung. Dadurch wird der effiziente Einsatz nicht äquidistanter Gitter für die Parametrierung und damit eine signifikante Reduktion des numerischen Aufwandes ermöglicht.<br />Zum anderen werden Methoden zur Konstruktion zulässiger, d.h.<br />insbesondere bei örtlich zweidimensionalen Gebieten mit den Randbedingungen konsistenter, Referenztrajektorien untersucht. Hierfür werden sowohl optimierungsbasierte, als auch aus dem Bereich der Regularisierung inverser Probleme entlehnte Ansätze vorgestellt. Neben dem Vorsteuerungsentwurf wird auch das Problem der Zustandsschätzung und der Stabilisierung des Trajektorienfolgefehlers betrachtet. Durch die Integration von flachheitsbasierter Vorsteuerung und Trajektorienplanung, einer modellprädiktiven Folgeregelung und der Schätzung des Zustands innerhalb einer Zwei-Freiheitsgrade-Reglerstruktur können Störungen und Modellfehler kompensiert und die Methodik auch auf instabile partielle Differentialgleichungen angewandt werden.<br />

This thesis is concerned with the model-based feedforward control design for systems governed by quasilinear parabolic partial differential equations in one- and two-dimensional spatial domains. The main focus is on the realization of setpoint transitions along predefined reference trajectories. The approach is based on the semi-discretization of the partial differential equation using suitable finite difference schemes. In the case of boundary control it is shown that the resulting system of ordinary differential equations is differentially flat for general nonlinearities. This system-theoretic property allows for the parametrization of the state and control input in terms of a so-called flat output and its time derivatives, which constitutes a systematic approach to the trajectory planning and feedforward control design for the considered transition problems. The particular appeal of this approach lies in its comparatively low computational demands especially for systems exhibiting significant nonlinear effects. The contributions of this thesis are two-fold. On the one hand, it is shown by analytic considerations that the flatness-based parametrizations of the semi-discretized approximations approach the flatness-based parametrizations of the original infinite-dimensional systems for vanishing discretization mesh widths. Conditions for the convergence of these infinite-dimensional parametrizations are explicitly derived for some system classes. On the other hand, tailored numerical methods are presented, which provide an empirical test for the convergence of the parametrization and which extend the applicability of trajectory planning and feedforward control based on finite difference semi-discretization to a broader class of systems. At first, grid adaptation methods are introduced to make use of non-equidistant grids for state and control input parametrization, which can significantly reduce the computational cost of the parametrization. Furthermore the construction of admissible profiles is considered. Especially in two-dimensional spatial domains, where the reference trajectories have to be consistent with the boundary conditions, this a crucial task for the trajectory planning and feedforward control design. For its solution, an optimization-based approach as well as an approach derived from the regularization of inverse problems are presented. Finally, both the problem of state reconstruction and tracking error stabilization are addressed. Integrating the flatness-based trajectory planning and feedforward control design, model-predictive tracking control and suitable state estimation within a two-degrees-of-freedom control scheme allows for the compensation of disturbances and modelling uncertainties, and for the consideration of unstable PDEs.