Reverse affine isoperimetric inequalities

Abstract

Die klassische isoperimetrische Ungleichung besagt, dass unter konvexen Körpern gegebenen Volumens genau die Euklidischen Kugeln die Oberfläche minimieren. Im Gegensatz dazu waren die Maximierer der Oberfläche (bis auf lineare Bilder) unbekannt, bis Balls vielbeachtete umgekehrte isoperimetrische Ungleichung die Simplizes als Körper maximaler Oberfläche identifizierte. Dieser Durchbruch erwies sich als wegweisend für eine ganze Reihe neu zu entdeckender geometrischer Ungleichungen, für die die Simplizes, oder die Parallelepipede im symmetrischen Fall, extremal sind. Ungleichungen dieses Typs nennt man umgekehrte affine isoperimetrische Ungleichungen.<br />Trotz der Fortschritte in den letzten Jahren blieben viele bekannte Vermutungen über umgekehrte affine isoperimetrische Ungleichungen ungeklärt. Beispielsweise ist Mahlers berühmte Frage, ob das Volumenprodukt (das Produkt der Volumina eines konvexen Körpers und seines Polarkörpers) sein globales Minimum auf Simplizes annimmt, weiterhin unbeantwortet. Die Lösung dieses Problems ist momentan das Ziel sehr intensiver Forschung. Einige wichtige Teilergebnisse, die die Vermutung bestätigen, wurden bereits erzielt. Zum Beispiel wurde die symmetrische Variante der Frage in einem wichtigen Spezialfall durch Reisner geklärt: Die Parallelepipede minimieren das Volumenprodukt unter den Zonoiden (die Grenzwerte von Minkowski-Summen von ursprungssymmetrischen Strecken).<br />In dieser Dissertation werden umgekehrte affine isoperimetrische Ungleichungen bewiesen, die sowohl Balls umgekehrte isoperimetrische Ungleichung, als auch Reisners Ungleichung für das Volumenprodukt von Zonoiden, verallgemeinern. Zuerst werden scharfe Ungleichungen für das Volumen spezieller geometrischer Objekte, genannt Wulff-Konstruktionen, inklusive einer Charakterisierung der Extremfälle gezeigt. Diese Ungleichungen implizieren direkt Balls umgekehrte isoperimetrische Ungleichung, Barthes duale Volumenverhältnisungleichung, und Lutwak, Yang und Zhangs Ungleichung für das Volumen von Polarkörpern. Im zweiten Teil der Dissertation werden scharfe Abschätzungen für das Volumen asymmetrischer Lp [L tief p] Zonotope, gemeinsam mit den zugehörigen Gleichheitsfällen, präsentiert. Als Spezialfall unserer Resultate ergibt sich einerseits Reisners Ungleichung für das Volumenprodukt von Zonoiden, und andererseits die Eindeutigkeit der Extremfälle in Campi und Gronchis symmetrischen Gegenstücken zu unseren Theoremen.<br />

The classic isoperimetric inequality states that among convex bodies of fixed volume precisely the Euclidean balls are minimizers of the surface area. In contrast, the maximizers (up to linear images) remained unknown until Ball's celebrated reverse isoperimetric inequality identified simplices as bodies of maximal surface area. This breakthrough sparked the development of a series of important geometric inequalities that have simplices, or parallelepipeds in the symmetric setting, as their extremals. Inequalities of this type are called reverse affine isoperimetric inequalities.<br />Despite the recent progress, many longstanding conjectures on reverse affine isoperimetric inequalities remain open. For instance, Mahler's famous question whether the volume product (the product of the volumes of a convex body and its polar reciprocal) attains its minimal value at the simplices is still unanswered. Solving this problem is currently the focus of very active research, and several partial results that support the conjecture have been obtained. For instance, Reisner has verified the symmetric variant of the conjecture in an important special case: He proved that the parallelepipeds have minimal volume product among zonoids (limits of Minkowski sums of origin-symmetric line segments).<br />In this thesis sharp reverse affine isoperimetric inequalities that generalize both Ball's reverse isoperimetric inequality and Reisner's volume product inequality for zonoids are established. First, sharp volume inequalities for geometric objects called Wulff shapes are obtained, along with a full characterization of the extremizers. These inequalities have results such as Ball's reverse isoperimetric inequality, Barthe's dual volume ratio inequality, and Lutwak, Yang, and Zhang's volume inequality for the polar body, as special cases. In the second part of the thesis, sharp inequalities for the volume of asymmetric Lp [L tief p] zonotopes are established, along with their equality conditions. These inequalities contain Reisner's volume product inequality for zonoids as a special case and settle the uniqueness of the extremals in Campi and Gronchi's symmetric counterparts to our theorems.<br />