Numerics of the Lévy-driven Heath-Jarrow-Morton model of interest rate theory

Abstract

Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Numerik von Heath-Jarrow-Morton Gleichungen, d.h. partielle stochastische Differentialgleichungen auf Funktionenräumen, die die Evolution der Zinsstruktur beschreiben. Als treibende Prozesse verwenden wir generelle Lévy Prozesse. Um die Anwendbarkeit der Resultate für Probleme aus der Praxis sicherzustellen, betrachten wir gewichtete Räume, welche auch unbeschränkte Auszahlungsfunktionen enthalten. Zwei neuere Entwicklungen, nämlich der Begriff und Eigenschaften einer generellen Feller - Halbgruppe, sowie ein Resultat im Bereich der Behandlung von Splitting-Methoden für unbeschränkte Operatoren, spielen eine zentrale Rolle für unsere Ergebnisse. Das Spezifische an den Heath-Jarrow-Morton Zins-Modellen von Interesse - die nichttriviale Sprungaktivität - verursacht zusätzliche Probleme bei der numerischen Implementierung, welche durch eine Momentenmethode behoben werden können. Ein konkretes Beispiel testet die entwickelte Methode in Praxis, wobei auch weitere Aspekte der Methodik illustriert werden.<br />

This thesis presents a numerical framework for weak approximation of Lévy-driven Heath-Jarrow-Morton equations, which are partial stochastic differential equations on a state space of forward rate curves describing the evolution of the term structure of interest rates. To make it applicable to real-world problems, we use weighted spaces allowing for unbounded payoffs. Two recent developments, namely the notion of generalized Feller semigroups and a convergence result in the context of exponential splitting schemes for unbounded operators, play a key role in our observations. The specifics of the models considered stem from the presence of general, non-trivial jumping activity, posing an additional challenge towards developing an efficient numerical method. This problem is tackled with a moment-matching technique leading to a sufficiently accurate tractable formulation. An illustrative example is also given, where the order of the pricing algorithm is tested in practice and further model features are discussed.