The reverse isoperimetric inequality

Abstract

Das Ziel dieser Diplomarbeit ist es, zwei aktuelle Beweise der umgekehrten isoperimetrischen Ungleichung in, soweit möglich, abgeschlossener Form zu präsentieren. Sie ist eine Zusammenfassung der Arbeiten von Keith Ball, Franck Barthe, Erwin Lutwak, Deane Yang und Gaoyong Zhang, die sich mit dieser wichtigen Ungleichung befassen.<br />Der erste Teil dieser Diplomarbeit dient der Übersicht über benötigte Resultate aus dem Gebiet der konvexen Geometrie. Weiters wird die klassische isoperimetrische Ungleichung mithilfe der Steiner Symmetrisierung bewiesen.<br />Nach einem kurzen Kapitel, welches der Motivation und der Formulierung der umgekehrten isoperimetrischen Ungleichung für Ursprung-symmetrische und allgemeine konvexe Körper gewidmet ist, wird ein Beweis für konvexe Körper basierend auf John's Position gegeben. (Ein Körper ist in John's Position, wenn das enthaltene eindeutige Ellipsoid maximalen Volumens die Einheitskugel ist.) Im folgenden Kapitel wird dieser Beweis durch die Einführung einer Familie von mit konvexen Körper verknüpften Ellipsoiden, den Lp [L tief p] John Ellipsoiden, für Ursprung-symmetrische konvexe Körper verallgemeinert. Zusätzlich zeigen wir, dass sich, durch die Anwendung der aus dem Kapitel über John's Position bekannten Volumenverhältnis-Ungleichung, ähnliche Ergebnisse für allgemeine konvexe Körper ergeben.<br />Um einen Ausblick auf aktuelle und mögliche zukünftige Anwendungen der vorgestellten Techniken zu geben, beschäftigt sich das letzte Kapitel mit einem aktuellen Ergebnis von Lutwak, Yang und Zhang. In Verwandtschaft zu Mahlers Vermutung wird bewiesen, dass das Volumen des Polarkörpers (bis auf eine Konstante) von unten durch den Kehrwert des Volumens des L2 [L tief 2] John Ellipsoids beschränkt wird.<br />

This diploma thesis's objective is to present two recent proofs of the reverse isoperimetric inequality in a reasonably self-contained manner. It is a summary of the works of Keith Ball, Franck Barthe, Erwin Lutwak, Deane Yang und Gaoyong Zhang on this important inequality. The first part of this thesis serves as an overview over required results from convex geometry. In addition, the Steiner symmetrisation is applied to establish the classical isoperimetric inequality. Following a short chapter dedicated to motivation and formulation of the reverse isoperimetric inequality for both origin-symmetric and general convex bodies, we move on to a proof based on John's position. (A convex body is said to be in John's position if the unit ball is the unique inscribed ellipsoid of maximum volume.) In the next chapter, the proof is generalised using the concept of Lp [L tief p] John ellipsoids, providing a different approach to the reverse isoperimetric inequality for origin-symmetric convex bodies. Moreover, we apply the volume ratio inequality deduced in the chapter on John's position to obtain similar results in the general case. The last chapter focuses on a recent application of the techniques applied in the proofs as an outlook to current and possible future uses.<br />In relation to the famous Mahler conjecture, the sharp estimate by Lutwak, Yang and Zhang shows that the reciprocal of the volume of the L2 [L tief 2] John ellipsoid bounds (up to a constant) the volume of the polar body from below.<br />