Mathematical modeling and control of micro electromechanical gyroscopes

Abstract

Mikroelektromechanische Drehratensensoren werden in einer immer größer werdenden Anzahl von technischen Produkten zur Messung der absoluten Drehwinkelgeschwindigkeit herangezogen. Der Fokus in der aktuellen Forschung ist entsprechend den industriellen Anforderungen darauf gerichtet, das Potenzial von mikroelektromechanischen Systemen (MEMS) hinsichtlich Integration, Miniaturisierung und Kostenersparnis in der Massenfertigung auszuschöpfen. Für die Auslegung von Drehratensensoren hinsichtlich der oben genannten Ziele kommt der Beschreibung der MEMS durch passende mathematische Modelle eine große Bedeutung zu. Die Anforderungen an die Modelle sind dabei je nach Anwendung unterschiedlich. Diese reichen von einfachen konzentriert-parametrischen Modellen, welche für die Beschreibung der prinzipiellen Funktionsweise ausreichen, bis zu aufwändigen Finite-Elemente-Modellen. Letztgenannte Modelle sind zwar in der Lage, die physikalischen Zusammenhänge mit hoher Genauigkeit zu beschreiben, besitzen allerdings den Nachteil, dass sie für dynamische Simulationen aufgrund der großen Anzahl an Freiheitsgraden nur bedingt geeignet sind.<br />Daher besteht ein erster wichtiger Anspruch dieser Arbeit darin, analytische Modelle mit einem an die jeweilige Anwendung angepassten Detaillierungsgrad bereitzustellen, ohne dabei die zugrundeliegende physikalische Struktur zu zerstören. Der in dieser Arbeit gewählte Ansatz basiert auf einer Unterteilung des Systems in funktionale Komponenten. Diese Komponenten können aufgrund ihrer physikalischen Eigenschaften (z.B. Starrkörper, elastische Körper, etc.) eindeutig identifiziert werden. Die jeweilige Modellvereinfachung kann anhand von physikalisch motivierten Annahmen für die mathematische Beschreibung der einzelnen Komponenten erfolgen. Diese Vorgehensweise erlaubt die Herleitung von analytischen Modellen mit einer angepassten Anzahl an Freiheitsgraden. Im Hinblick auf diese Zielsetzung beinhaltet die vorliegende Arbeit nach einem kurzen Einstieg in die Kontinuumsmechanik die zugrundeliegenden Konzepte zur mathematischen Modellierung von mikromechanischen Strukturen, welche sich als zusammengesetzte Systeme von einzelnen Starrkörpern und elastischen Elementen darstellen lassen. Typischerweise besitzen MEMS Drehratensensoren zwei zueinander orthogonale mechanische Vibrationsmoden, die sogenannte primäre und sekundäre Mode, welche bei Auftreten einer Drehrate über den Corioliseffekt gekoppelt sind. Um maximale Sensitivität zu erreichen, werden diese meist als schwach gedämpfte Resonanzstrukturen ausgeführt, welche zu harmonischer Schwingung in der Nähe der Resonanzfrequenz angeregt werden. Da Linearität des Eingangs-Ausgangsverhaltens und Robustheit gegenüber Umgebungseinflüssen wesentliche Kriterien für die Sensorqualität sind, ist eine Regelung der primären und sekundären Schwingung unumgänglich. Nun zeigt es sich, dass die "langsame" Dynamik der Einhüllenden der Systemgrößen die für den Reglerentwurf relevante Dynamik darstellt. Dies rechtfertigt den Entwurf eines Hüllkurvenmodells, welches ausschließlich die Dynamik der Einhüllenden beschreibt. Der gewählte Modellierungsansatz wird anhand von zwei konkreten Beispielen, einem Stimmgabelsensor mit piezoelektrischen Aktoren und piezoresistivem Messprinzip sowie einem kapazitiven Sensor, illustriert.<br />Neben der Modellbildung bildet der systematische Regelungsentwurf einen weiteren Schwerpunkt der vorliegenden Arbeit. Obwohl sich viele Beiträge in der Literatur mit der Regelung von mikromechanischen Drehratensensoren beschäftigen, fehlt in den meisten Fällen ein systematischer Zugang. Daher wird in dieser Arbeit versucht, diese Lücke zu schließen und anhand von mehreren Beispielen gezeigt, wie auf Basis des Hüllkurvenmodells systematisch ein Reglerentwurf durchgeführt angewendet werden kann. Ein Beispiel hierfür ist der Entwurf einer optimierten Anfahrstrategie für die Regelung der Primärmode. Für hochpräzise Drehratensensoren ist außerdem eine Reihe von weiteren Regelungsaufgaben von Bedeutung. Beispielsweise kann das durch die schwache Dämpfung resultierende langsame dynamische Antwortverhalten des Sensors verbessert werden, indem die Systemantwort auf eine externe Drehrate kompensiert wird. Damit außerdem die größtmögliche Sensitivität erreicht wird, müssen die Resonanzfrequenzen von Primär- und Sekundärmode auf ein und denselben Wert gebracht werden. Um nun im gewünschten Arbeitspunkt lineares und gleichzeitig robustes Sensorverhalten gewährleisten zu können, ist eine komplexe Regelung der Sekundärmode notwendig. Basierend auf dem Hüllkurvenmodell wird ein Gesamtregelungskonzept für den kapazitiven Sensor hergeleitet, mit dem sämtliche genannten Aufgaben erfüllt werden können. Die gezeigten Beispiele bestätigen die Vorteile des gewählten Ansatzes, welcher es erlaubt, gezielt Modelle mit einem geeigneten Detaillierungsgrad sowohl für die Systemanalyse als auch für den systematischen Reglerentwurf bereitzustellen.<br />

Micro electromechanical gyroscopes serve as inertial sensors for measuring the angular rate with respect to an inertial reference frame.<br />They are utilized in an increasing number of modern technical applications, in particular in mass products with high demands on cost efficiency and miniaturization, and have been extensively treated in the literature in recent years. Many contributions are dealing in particular with the design and modeling of micro machined gyroscopes. Thereby, the demands on the mathematical models strongly vary with the intended applications. In order to understand the basic principle of operation, typically lumped parameter models are used. More accurate models are required for the overall design process of micro electromechanical gyroscopes, where finite element methods are preferably utilized providing numerical models at a high level of detail. These methods, however, have the disadvantage that the resulting system of differential equations is very large and can neither be used for analysis and control design purposes nor for transient simulations within reasonable time.<br />Therefore, one major motivation for this work is to provide an analytical model with a reasonable number of degrees-of-freedom and sufficient accuracy while preserving the physical properties of the electromechanical system. Different from various order reduction techniques the presented approach is based on a classification of the device into functional components well-defined by their physical properties (e.g., rigid bodies, elastic bodies, lumped capacitors, etc.). Thereby, the actual model simplification is achieved by applying physically motivated assumptions to the mathematical representations of the individual functional components. This allows for the derivation of dynamical models with a suitable level of detail for the respective application. In view of these objectives the present work contains a short introduction to continuum mechanics and provides the basic concepts for the modeling of micro electromechanical silicon devices. Micromachined gyroscopes usually possess two orthogonal vibratory modes, the so-called primary and secondary mode. The primary mode is harmonically excited to oscillate with a predefined amplitude and, in the event of an externally applied angular rate, is coupling to the secondary mode. Vibratory gyroscopes are usually designed as weakly damped resonance structures which are harmonically excited close to the resonance frequencies. Since a linear and robust sensor behavior is one of the primary demands a closed-loop control of the primary and secondary mode becomes inevitable. Typically, the relevant dynamics for the control design lie within the frequency range of the envelope of the excitation signal rather than in the frequency range of the carrier signal itself. In particular in view of system analysis and control design, this motivates to additionally derive a more comprehensive mathematical model which solely captures the essential "slow" dynamics (envelope) of the system. The so-called envelope model allows for an efficient steady state analysis and serves as the basis for a systematic design of the closed-loop system.<br />These modeling concepts are applied to two different types of gyroscopes, namely a tuning fork gyroscope with piezoelectric actuation and piezoresistive read-out and a capacitive gyroscope. Apart from the development of suitable mathematical models special emphasis is placed on the systematic derivation of the essential open- and closed-loop control concepts. Although a large number of contributions dealing with the control of micro electromechanical gyroscopes can be found in the literature, there is still a lack of systematic approaches to the control design. In the present work it is shown that the envelope model is a useful tool to bridge this gap. Using the example of the capacitive gyroscope an optimized start-up strategy is developed based on the corresponding envelope model. Among the essential control tasks for high performance gyroscopes are the unbalance compensation and the force feedback of the external angular rate to enhance the dynamic response of the gyroscope. In some applications one aims at further increasing the sensitivity of vibratory gyroscopes by matching the resonance frequencies of the weakly damped primary and secondary mode. In order to provide a linear and robust sensor behavior this matched mode operation requires an even more complex closed-loop control architecture. Therefore, an overall control concept is finally presented for the capacitive gyroscope where the mentioned control tasks are performed with one common set of electrostatic actuators. The results thus obtained emphasize the major benefit of this work, i.e., a methodology for the derivation of suitable mathematical models allowing for the systematic analysis and design of various control concepts for micro electromechanical gyroscopes.