Mehrwertige Logiken für Spiele

Abstract

Spiellogiken ermöglichen formales Schließen im Kontext der Spieltheorie. Während allerdings in Spielen oft mehr als zwei mögliche Auszahlungswerte vorkommen, sind die meisten Spiellogiken nur zweiwertig. Daher ist es in diesen Logiken nur beschränkt möglich, Auszahlungswerte oder die zugehörigen Präferenzen direkt zu repräsentieren. Durch den Einsatz von mehrwertigen Logiken kann diese Auszahlungsinformation direkt, ohne spezifische Prädikate, codiert werden. Diese Arbeit befasst sich mit der mehrwertigen Verallgemeinerung der Forcing-Power-Aussagenlogik von van~Benthem. Anstatt klassische Aussagenlogik mit einem Modaloperator für die erzwingbaren Ausgänge eines Spiels zu erweitern, wird in dieser Arbeit Lukasiewicz-Logik mit einer generalisierten Form des Modaloperators erweitert. Es wird gezeigt, dass die zentrale Eigenschaft des zweiwertigen Falles, Invarianz unter Power-Bisimulation, auch im mehrwertigen Fall erhalten bleibt. Darüber hinaus wird ein neues Resultat präsentiert, das zeigt, dass für eine eingeschränkte Klasse an Formeln die untere Schranke des Wahrheitswerts unter Power-Simulation erhalten bleibt. Auf Basis dieser Power-Simulation wird eine weitere Form der Spieläquivalenz eingeführt, die sich von Power-Bisimulation unterscheidet. Des Weiteren wird das Min-Max-Theorem mit der Dualität des Modaloperators in Zwei-Personen Spielen mit perfekter Information in Verbindung gebracht. Ein Begriff der Spielreduktion wird eingeführt und verwendet um von Eigenschaften von Zwei-Personen-Spielen mit perfekter Information auf Eigenschaften von allgemeineren Klassen von Spielen zu schließen.

Logics for games provide systems of formal reasoning for game theory. While games commonly have more than two possible payoff values, most logics for games are two-valued. This limits their capacity to directly represent different payoff values or corresponding preferences. By employing many-valued logics one can avoid the introduction of specific predicates for encoding this payoff information. This thesis generalizes the propositional forcing power logics introduced by van~Benthem beyond two truth-values. Instead of extending classical propositional logic by modal operators for forcing power in games, generalized versions of the modal operators are used to extend \luka logics. These many-valued forcing power logics are shown to preserve the main property of the two-valued case: invariance under power bisimulation. Moreover one arrives at a new result expressing that for a restricted class of formulas the lower bound of truth values is preserved under power simulation. This power simulation is also shown to lead to a further notion of equivalence, different from power bisimulation. Furthermore, the minimax theorem of game theory is related to modal duality in finite two-player perfect information games. A notion of game reduction is introduced and used to transfer properties of two-player perfect information games to broader classes of games.