Das Ising Modell

Abstract

Das Ising Modell ist ein mathematisches Modell aus der statistischen Physik. Im spezillen beschreibt das nach Ernst Ising benannte Modell den Ferromagnetismus in Festkörpern. Das Ising Modell erklärt die spontane mikroskopische Wechselwirkung von Spins. Das bedeutet, dass ein System, das aus vielen gleichartigen Elementen besteht, nur zwei diskrete Zustände annehmen kann. Es wurde untersucht, ob ein vereinfachte Darstellung eines Ferromagneten, die komplexen Eigenschaften, wie permanente Magnetisierung und Phasenübergänge beschreiben kann. Dabei wurde Phasenübergänge erster Ordnung und zweiter Ordnung ausführlich beschrieben und anschaulich dargestellt. Phasenübergänge können unabhängig ihrer magnetischen Auslegung untersucht werden.<br />Weiteres werden Beispiele von kritischen Exponenten, von unterschiedlichen Materialien angegeben, die bei Phasenübergänge zweiter Ordnung festgelegt werden. Ausserdem werden notwendig Methoden um das ein- bzw. mehrdimensionale Ising Modell lösen zu können erklärt. Zur Berechnung der für das Ising Modell benötigten Energie wird die Monte-Carlo-Simulation verwendet. Das Ising Modell beschreibt in einfachster Weise, Systeme mit Wechselwirkungen und lässt sich auf Probleme anwenden, bei denen andere Modelle versagen.

The Ising model is a mathematical model in statistical mechanics, named after the physicist Ernst Ising. The original motivation for the model was the phenomenon of ferromagnetism. The Ising model is defined on a discrete collection of variables called spins, which can take on the value 1 or -1. The spins S_i interact in pairs, with an energy which has one value when the two spins are the same, and a second value when the two spins are different.<br />The general behaviour expected from the Ising model (including the phase change behaviour) will be discussed.<br />Following the theory, the concepts of the Monte-Carlo approach to statistical physics problems will be outlined, with the Ising model being used as an example. The basic methods of Monte-Carlo-Simulation will be explained.