Non-monotone choice functionals and the entropic utility in the optimal risk sharing problem

Abstract

Nach einer kurzen Einführung in die Theorie der monetären und nichtmonotonen Nutzenfunktionen und des Problems der optimalen Risikoaufteilung befassen wir uns mit den Eigenschaften von fünf ausgewählten Nutzenfunktionen, darunter die Entropische Nutzenfunktion und die Standarddeviation Präferenz. Wir berechnen die Supergradienten dieser Nutzenfunktionen, sowie ihre konvexe Konjugierte und deren Subgradienten, die für die Lösung des Problems der optimalen Risikoaufteilung von Nutzen sind. Dann betrachten wir das Verhalten der paretooptimalen Allokation, wenn eine der Nutzenfunktionen der Entropische Nutzen ist. Für positiv homogene Nutzenfunktionen und Gateauxdifferenzierbare Nutzenfunktionen leiten wir eine alternative Lösungsmethode für das Problem der optimalen Risikoaufteilung her und betrachten diese im endlichdimensionalen Fall für die Standarddeviationspräferenz und den entropischen Nutzen. Schließlich wird mit den Methoden der Nutzenaufteilung eine interessante Gleichung bewiesen.<br />

After a short introduction into the theory of monetary utility functions and non-monotone choicefunctionals and the problem of optimal risk sharing, we study the properties of five selected choicefunctionals , for example a generalization of the mean-variance, the p-deviation utility, the p-semi-deviation utility and the entropic utility. We calculate their supergradient, as well as the convex conjugate and its subgradient, which are useful for solving the optimal risk sharing problem. Then we consider the behaviour of the pareto optimal allocation, when one utility is the entropic one. For law-invariant positively homogenous utility and law-invariant Gateaux differentiable choicefunctional we derive an alternative method for solving the optimal risk sharing problem and consider this method in the finitedimensional case for the standard-deviation utility and the entropic utility.<br />Finally we prove an interesting equation with the tools of optimal risk sharing.