Zuverlässige a posteriori Fehlerschätzung für datengestörte Randelementmethoden in 2D

Abstract

Die mathematische Beschreibung vieler physikalischer und technischer Prozesse führt zu partiellen Differentialgleichungen, die sich nur in wenigen Spezialfällen analytisch lösen lassen. Man ist also an numerischen Methoden interessiert, die die Lösung der Gleichung bis zu einer gewünschten Genauigkeit berechnen.<br />Zwei berühmte Beispiele für solche Verfahren sind die Finite Elemente Methode (FEM) und die Randelementmethode (BEM, engl. boundary element method). Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Randelementmethode. Dabei führt die direkte Randintegralmethode zu elliptischen Integralgleichungen erster Art, auf die dann ein Galerkinverfahren angewendet wird. Wir betrachten im Speziellen die Integralgleichung zum Laplaceoperator mit gegebenen Dirichletdaten g\in H {1/2}(\Gamma), die so genannte Symmsche Integralgleichung V\phi =\big(K+ frac12\big)g, die auf dem Rand \Gamma eines Gebiets zu lösen ist.<br />Bei numerischen Verfahren ist man besonders an einer a posteriori Fehlerschätzung interessiert, das heißt, die Fehlerschätzung darf von der berechneten Näherungslösung abhängen, ist aber unabhängig von der exakten Lösung. Einerseits kann man somit den Approximationsfehler kontrollieren, andererseits ist mit solchen Fehlerschätzern auch eine Steuerung eines adaptiven Algorithmus möglich.<br />Von besonderem Interesse sind zuverlässige Fehlerschätzer, das heißt, es gibt eine Konstante C>0, sodass für den Schätzer \varrho_\ell gilt