Projection bodies

Abstract

Ziel dieser Diplomarbeit ist es in möglichst geschlossener Darstellung die grundlegenden Eigenschaften von Projektionkörpern zu präsentieren und einige erstaunliche Beispiele ihrer Verwendung in der konvexen und stochastischen Geometrie zu geben.<br />Ein Projektionenkörper ist ein konvexer Körper dessen Stützfunktion durch das Volumen von Projektionen eines anderen Körpers auf Hyperebenen gegeben ist. Ausgehend von dieser anscheinend harmlosen geometrischen Definition stellt sich heraus, dass Projektionenkörper in ganz unerwarteten Situation auftreten. Zum Beispiel erhalten wir folgende Charkterisierung: Ein symmetrischer, $n$-dimensionaler konvexer Körper $K\subset\mathbb{R} n$ ist genau dann ein Projektionenkörper, wenn sein Polarenkörper ein endlich-dimensionaler Zentralschnitt durch die Einheitskugel von $L_1(0,1)$ ist.<br />In Kapitel 3 präsentieren wir die Arbeit von Monika Ludwig über $\mathrm{SL}(n)$-kontravariante Minkowski-Bewertungen: Jede $\mathrm{SL}(n)$-kontravariante Minkowski-Bewertung ist im Wesentlichen die Minkowski-Abbildung, d.h. jene Bewertung, die jedem konvexen Körper seinen Projektionenkörper zuweist. Am Ende dieses Kapitel beweisen wir eine Verfeinerung dieses Resultats.<br />Als nächstes betrachten wir affin-isoperimetrische Ungleichungen für Projektionenkörper und geben Beweise der Petty- und der Zhang-Projektionenungleichung.<br />Schließlich, in Kapitel 5, sehen wir wie Projektionenkörper als Hilfskörper in der stochastischen Geometrie auftreten. Wir berechnen die erwartete Anzahl der Ecken eines zufälligen Polytops in Termen des Volumens des mit der Verteilung der Polytope assoziierten Projektionenkörpers und polaren Projektionenkörpers. Eine untere Schranke für die erwartete Anzahl der Ecken eines zufälligen symmetrischen Polytops liefert dann die Reiser-Ungleichung. Reisners Ungleichung löst die Mahler-Vermutung für Zonoide. Im Allgemeinen ist die Mahler-Vermutung noch immer eines der größten ungelösten Probleme der konvexen Geometrie.<br />

The aim of this diploma thesis is to present as self-contained as possible the basic properties of projection bodies and to give several astounding examples of their application in convex and stochastic geometry.<br />A projection body is a convex body whose support function gives the volume of projections on hyperplanes of another convex body. Starting from this seemingly innocent geometric definition, it turns out that projection bodies appear quite unexpected in many different guises. For example, we arrive at the following characterization: A centered, $n$-dimensional convex body $K\subset\mathbb{R} n$ is a projection body if and only if its polar body is a finite dimensional central section of the unit ball of $L_1(0,1)$. In Chapter 3 we present the work of Monika Ludwig on $\mathrm{SL}(n)$ contravariant Minkowski valuations: Every $\mathrm{SL}(n)$ contravariant Minkowski valuation is more or less the Minkowski map, i.e.\ the valuation which assigns each convex body its projection body. At the end of this chapter we prove a refinement of this result. Next we show that projection bodies have applications to affine isoperimetric inequalities and we give proofs of the Petty projection inequality and Zhang projection inequality. Finally, in Chapter 5, we see how projection bodies appear as auxiliary bodies in stochastic geometry. We compute the expected number of vertices of random polytopes in terms of the volume of the projection body and polar projection body associated with the distribution of the random polytopes. Using a lower bound for the expected number of vertices of centered random polytopes, we obtain Reisner's inequality.<br />Reisner's inequality gives a positive solution of Mahler's conjecture for zonoids, but in general Mahler's conjecture is still one of the major open problems in convex geometry.