Anwendung von Risikomaßen in der Lebensversicherung

Abstract

Die Risikobeurteilung und Risikobewertung gewinnt in der Lebensversicherung immer mehr an Bedeutung. Der Grundsatz jeder Lebensversicherung ist das Äquivalenzprinzip. Dieses besagt, dass zu Beginn der Versicherung die Summe der diskontierten erwarteten Prämieneinnahmen äquivalent sein soll der Summe der diskontierten erwarteten Versicherungsleistungen zuzüglich der zu erwartenden Kosten. Dieses Äquivalenzprinzip wird nun angewandt um für die gewünschten Leistungen die Prämien, die der Versicherungsnehmer zu entrichten hat, zu berechnen. Das heißt, dass zu Beginn des Vertrages das Verhältnis zwischen Prämien und Leistungen festgelegt wird und für die gesamte Vertragsdauer sowohl für den Versicherungsnehmer als auch für das Unternehmen rechtlich bindend ist.<br />Dieses Prinzip funktioniert nur unter der Voraussetzung, dass man alle Werte, die der Berechnung zugrundegelegt werden zu Beginn des Versicherungsvertrages kennt. Diese Annahme kann natürlich nicht der Realität entsprechen. Somit trägt das Versicherungsunternehmen in diesem Bereich ein hohes Risiko, das nicht vollständig diversifizierbar ist.<br />Sollte nun eine für den Versicherer ungünstige Entwicklung auf dem Kapitalmarkt oder auch beim Sterbeverlauf der Versicherten eintreten, hat das Versicherungsunternehmen nicht die Möglichkeit die Prämien den nun veränderten erwarteten Leistungen anzupassen.<br /> Um sich also gegen einen finanziellen Schaden abzusichern werden daher die Prämien mit sogenannten Rechnungsgrundlagen 1. Ordnung berechnet.<br />Diese sind Grundlagen, die auf sehr vorsichtigen Schätzungen für die gesamte Vertragslaufzeit beruhen. Dadurch gibt es aber mehrere Unsicherheitsfaktoren. Zum Einen ist das Risiko gegeben, dass der Bestand des Versicherungsunternehmens sich nicht genau gleich entwickelt wie die Sterbetafel. Und zum Zweiten ist das Risiko hoch, das sich durch medizinische Weiterentwicklung oder Umweltkatastrophen die Sterblichkeit in eine ganz andere Richtung entwickelt als ursprünglich angenommen. Aufgrund einer Gewinnquellenanalyse des eigenen Versicherungsbestandes kann man die Gewinn- bzw. Verlustquellen im Unternehmen finden und dieses Wissen bei der Erstellung der Rechnungsgrundlagen zweiter Ordnung einfliessen lassen. Basis dieser Arbeit ist das von R. Norberg [Nor99] verwendete stochastische Lebensversicherungsmodell, in welchem die Rechnungsgrundlagen stochastisch modelliert sind. Hierfür wird das Markov-Modell Anwendung finden, welches mittlerweile zu einem der Standardmodelle in der akturiellen Wissenschaft avanciert ist.<br />Zunächst wird mit der Vorstellung des Lebensversicherungsmodell, das auf dem sogenannten Mehrzustandsmodell basiert, begonnen sowie in die Grundlagen der Sterbe-wahrscheinlichkeiten und der Verteilungsfunktion der Reserve eingeführt. Als Grundlage für das Lebensversicherungsmodell dient der Markovsche Sprungprozess für einen Versicherungsvertrag. Die Rechnungsgrundlagen erster Ordnung werden deterministisch angenommen. In einem nächsten Punkt werden einige Risikomaße vorgestellt und beleuchtet um die theoretischen und mathematischen Grundlagen für die weiterfolgenden Fragestellungen einzuführen.<br />Kern der Arbeit ist es die Größe des Sterblichkeitsrisikos zu messen und anhand der Verteilungsfunktion der Reserve bzw. des gesamten Zahlungsstromes - vorgestellt von M. Koller [Kol00] - und einiger Risikomaße Aussagen über die Größe dieses Risikos zu treffen.<br />In einem weiteren Schritt wird für verschiedene Versicherungstypen die Formeln für die Verteilungsfunktionen des Verlustes bzw. Gewinnes hergeleitet und anhand von Beispielen demonstriert. Final wird dann die zuvor erarbeitete Rekursionsformel für die Reserve herangezogen um die Verteilungsfunktion für einen fiktiven Bestand von 8 Polizzen zu berechnen und die Risikomaße anwenden zu können.<br />