Matrix-Valued Gamma Distributions and Applications in Risk Management

Abstract

In der Versicherungsmathematik und bei der Modellierung von Kreditrisiken wird oft von Poisson-verteilten Schadensanzahlen mit gammaverteilten Intensitäten ausgegangen, da derartige Modelle Überdispersion zulassen. Diese Diplomarbeit befasst sich mit der Möglichkeit, diesen Vektor von Poissonintensitäten mithilfe einer matrixwertigen Gammaverteilung zu modellieren. Zunächst führen wir Wishart- und matrixwertige Gammaverteilungen, einschließlich ihrer degenerierten Varianten, ein und beweisen, dass erstere eine Teilmenge von letzteren sind. Anschließend definieren wir eine allgemeinere Version von matrixwertigen Gammaverteilungen, die auch singuläre Wishart-Verteilungen einschließt, und beweisen einige grundlegende Eigenschaften dieser Verteilungsfamilie. Dabei leiten wir auch matrixwertige Versionen von Exponentialverteilungen her, von denen wir zeigen, dass sie gedächtnislos bezüglich einer geeigneten Halbordnung sind. Weiterführend führen wir zunächst Poisson-Mischmodelle im Allgemeinen ein, um dann Matrix-Gamma Poisson-Mischmodelle vorzustellen. Diese haben den Vorteil, dass damit komplexere Abhängigkeitsstrukturen modelliert werden können, während die eindimensionalen Verteilungen noch immer negative Binomialverteilungen sind. Dieser Vorteil geht jedoch mit dem Nachteil einher, dass im hier beschriebenen Stand der Matrix-Gamma Poisson-Mischmodelle nur nicht-negative Korrelationen zwischen den Ausfallzahlen modelliert werden können. Wir diskutieren einige Eigenschaften dieser neuen Modellklasse und legen dabei einen besonderen Schwerpunkt auf wahrscheinlichkeitserzeugende Funktionen und den Bereich der möglichen Abhängigkeitsstrukturen. Abschließend leiten wir im Rahmen der Matrix-Gamma Poisson-Mischmodelle einige bedingte Verteilungen her, die sich für Versicherungs- und Kreditrisikomodelle als nützlich erweisen könnten.

In the fields of actuarial science and credit risk modeling, the claim number is often assumed to have a multivariate Poisson distribution, where the random intensities follow gamma distributions, allowing for overdispersion. We propose to model this vector of random Poisson intensities in terms of a matrix-valued gamma distribution, leading to the formulation of matrix-gamma multivariate Poisson mixture models. This thesis starts with discussing Wishart and matrix-valued gamma distributions, including their degenerate variants. After proving that the former are a subset of the latter via characteristic functions, we define general matrix-valued gamma distributions, which include the subclass of singular Wishart distributions, and explore and derive properties of this distribution family. This also includes deriving matrix-valued versions of exponential distributions, which we prove to be memoryless w.r.t. an appropriate partial order. Moreover, we introduce Poisson mixture models in general before defining and discussing matrix-gamma multivariate Poisson mixture models. These models possess the advantage of capturing more sophisticated dependency structures among default numbers as compared to existing models, while preserving the property that each individual default number follows a negative binomial distribution. However, this advantage comes with the trade-off that only non-negative correlations between the default numbers can be modelled in the current state of the framework. We discuss and illustrate multiple properties of this new model, with particular emphasis given to the probability-generating functions and the range of dependency structures that can be effectively represented within this framework. Finally, we derive conditional distributions within the context of matrix-gamma multivariate Poisson mixture models, which could prove valuable for the application of this model in insurance or credit claim modeling scenarios.