Analytical Micromechanics with Macroscopic Strain Gradients, Motivated by Biological Materials

Abstract

Die Erforschung der mechanischen Eigenschaften biologischer Gewebe stellt ein Thema von stetig wachsendem Interesse dar. Ein Material, das bis dato noch relativ wenig untersucht wurde,welches aber verglichen mit anderen biogenen Substanzen einzigartige Fähigkeiten und einige potenziell nützliche Anwendungsmöglichkeiten besitzt, baut die Kiefer von Polychaeten − besser bekannt als Borstenwürmer − auf. Wegen seiner charakteristischen metallorganischen Verbindungen weist dieses Material hohe Härten und Steifigkeiten auf, welche auf versetzungsartige Mikro-Deformationen schließen lassen. Ebenso haben neuere Nanoindentierungs-Versuche ergeben,dass die Messung von mechanischen Eigenschaften Größeneffekten unterworfen ist; die Messergebnisse hängen von der Indentierungstiefe ab. Solche Größeneffekte können oft mit einem Verzerrungsgradienten beschrieben werden, was bedeutet, dass gemessene mechanische Größen nicht nur von der eingebrachten Verzerrung, sondern auch von einem Maß für ihren Gradienten abhängen. Die sich dann stellende, weitgehend unbeantwortete Frage betrifft die Verknüpfung zwischen den makroskopischen Verzerrungsgradienten und den mikroskopischen Verformungsmustern.Diese Frage wird hier im Rahmen der analytischen Mikromechanik behandelt.Da die klassischen Methoden der Mikromechanik durch die Voraussetzung der Skalentrennung im Allgemeinen keinen Verzerrungsgradienten berücksichtigen, und neuere Entwicklungen, woein solcher eingebunden wird, meist schwerfällig und rechnerisch sehr aufwendig sind, soll in dieser Arbeit ein Maß des Verzerrungsgradienten auf der Makroskala eingeführt werden, welches sich mittels Randbedingungen auf die sich linear elastisch verhaltende Mikrostruktur auswirkt.Damit wird angestrebt, die Anwendbarkeit und Vielseitigkeit der klassischen Mikromechanik −und damit der meisten Homogenisierungstechniken − zu erhalten, und gleichzeitig die Einsatzmöglichkeiten,besonders hinsichtlich kleinen Maßstäben und/oder biologischen Materialien, zu erweitern.Als ersten Schritt dieser Modellbildung wird in der vorliegenden Arbeit die Auswirkung des makroskopischen Verzerrungsgradiententerms auf die Grundpfeiler der Mikromechanik untersucht.Konkret wird die Verzerrungsmittelungsregel, die Spannungsmittelungsregel und das Eshelby’scheInhomogenitätenproblem behandelt.Es wird gezeigt, dass mit dem gewählten Formalismus einerseits beide Mittelungsregeln für einmikroskopisch linear elastisches Medium anwendbar sind, sowie, dass das Inhomogenitätenproblemeine Lösung besitzt. Letztere wird allgemein in Form einer Neumann-Reihe dargestellt und für den speziellen Fall einer sphärischen, isotropen Inhomogenität konstanter Steifigkeit als geschlossene, approximierte Lösung präsentiert.

The investigation of the mechanical properties of biological tissue is a topic of ever growing interest. One material that has been relatively little studied to date, but which has uniquecapabilities and some potentially useful applications compared to other biogenic substances,is the substance building up the jaws of polychaetes − better known as bristle worms. This material exhibits high hardness and stiffness due to its organometallic composition, and latest evidence has suggested that the material may be able to undergo dislocation-like deformations at the microscopic scale. This idea arises from recent nanoindentation testing which has shown thatthe measurement of mechanical properties is associated with size effects, namely indentation depths. Corresponding "loading sizes" can often be described by a "macroscopic" strain gradient,which means that measured mechanical quantities not only depend on the applied strain, but also on a measure of its gradient. The correspondingly arising, largely open, question concerns the link between the macroscopic strain gradient and the microscopic deformation pattern. This question is tackled here in in the context of analytical micromechanics.Classical methods of micromechanics generally do not consider a strain gradient due to the requirement of scale separation, and more recent developments, where such a gradient is included,are often cumber some and computationally expensive. Hence, the present work aims to introduce a measure of the strain gradient on the macroscale, which is connected via boundary conditions to a linear elastic microstructure. The goal is to maintain the applicability and versatility of classical micromechanics − and thus of most homogenization techniques, while extending the range of applications, especially regarding small scales and/or biological materials.This thesis covers the first stage of this modeling process, by investigating the effect of a macroscopic strain gradient term on the mathematical pillars of micromechanics. Specifically, the strain average rule, the stress average rule and Eshelby’s in homogeneity problem are examined.It is shown that with the chosen formalism both averaging rules are applicable for a linear elastic medium on the microscale, and that the inhomogeneity problem has a solution. The latter is presented in the form of a Neumann series for the general case and as an approximated closed-form solution for a spherical, isotropic inhomogeneity of constant stiffness.