Implementierung einer stabilisierten A-V,A Formulierung für die Magnetostatik mit bewegungsinduzierten Wirbelströmen

Abstract

Reale technische Anwendungen in der Elektrodynamik haben üblicherweise eine komplexe Geometrie und nichtlineare Materialparameter, daher werden oft numerische Methoden eingesetzt um die dazugehörigen Maxwell Gleichungen zu lösen. Spezialfälle der Maxwell Gleichungen können in eine Potentialformulierung überführt werden. Zur Lösung der entsprechenden Potentialfunktionen wird im Rahmen dieser Arbeit die Finite Elemente Methode angewendet. Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der Implementierung der Geschwindigkeitsterme in der quasistatischen A-V,A Potentialformulierung für das Wirbelstromproblem im open source Finite Elemente Programm openCFS. Diese Formulierung kann in Beispielen verwendet werden, wenn sich ein elektrischer Leiter mit konstanter Geschwindigkeit und Geometrie in einem stationären Magnetfeld bewegt. Bei erhöhter Geschwindigkeit, unter Anwendung der implementierten Formulierung, können numerischen Oszillationen auftreten. Der neu implementierte Konvektionsterm führt zu großen Einträgen in der Systemmatrix, was zu erheblichen Größenunterschieden der Matrixeinträge führt. Diese Diskrepanzen in der Größenordnung verursachen eine schlechte Konditionierung der Systemmatrix und führen wiederum zu numerischen Instabilitäten. Diese numerischen Effekte verhindern eine physikalisch korrekte Lösung in der Finite Elemente Methode. Aus diesem Grund beschäftigt sich diese Arbeit ebenfalls mit möglichen Methoden zur Verhinderung dieser numerischen Instabilitäten. Diskret werden drei verschiedene Ansätze beschrieben und davon wird das Stremline Upwinding Petrov Galerkin (SUPG) Verfahren in openCFS implementiert. Damit die zusätzlichen Terme in der Implementierung validiert werden können, werden zwei Fallbeispiele herangezogen. Das Validieren wurde mit einem Vergleich von integralen Ergebnissen auf Flächen, als auch Feldgrößen entlang von gewählten Linien in der Rechendomäne vorgenommen. Der Vergleich wurde dabei mit der Verwendung von analytischen Lösungen, oder mit den Ergebnissen des kommerziellen Finite Elemente Programmes OPERA von Dassault Systems hergestellt.Die Validierung der Bewegunsterme der quasistatischen A-V,A Formulierung war erfolgreich. Lediglich ein Term des SUPG-Verfahrens, der das elektrische Skalarpotential V umfasst, konnte nicht erfolgreich validiert werden. Dies schränkt die Anwendung der vorgestellten Implementierung mit Upwinding auf Beispiele ein, bei denen der Gradient des elektrischen Skalarpotentials stets null ist.

Real-world technical applications in electrodynamics typically involve complex geometries and nonlinear material properties, making it necessary to employ numerical methods for solving the associated Maxwell equations. Certain special cases of the Maxwell equations can be reformulated into potential formulations. In this work, the finite element method is applied to solve the corresponding potential functions.This thesis focuses on the implementation of velocity terms in the quasi-static A-V,A potential formulation for the eddy current problem within the open-source finite element software openCFS. This formulation is applicable to scenarios where an electric conductor moves at a constant speed and geometry within a stationary magnetic field. At higher speeds, numerical oscillations may occur when applying the implemented formulation. The newly implemented convection term introduces large entries into the system matrix, leading to significant disparities in the magnitude of matrix entries. These discrepancies cause poor conditioning of the system matrix, resulting in numerical instabilities. These numerical effects prevent the finite element method from producing physically accurate solutions. Consequently, this work also addresses potential methods to mitigate such numerical instabilities. Three different approaches are discretely discussed, and the Streamline Upwind Petrov-Galerkin (SUPG) method is implemented in openCFS. To validate the additional terms in the implementation, two case studies are presented. Validation is performed by comparing integral results over surfaces and field quantities along selected lines in the computational domain. This comparison is made using either analytical solutions or the results from the commercial finite element software OPERA by Dassault Systems.The validation of the motion terms in the quasi-static A-V,A formulation was successful. However, one term of the SUPG method, involving the electric scalar potential V, could not be validated successfully. This limits the application of the presented upwinding implementation to cases where the gradient of the electric scalar potential remains zero throughout.