On the martingale property in non-markovian models

Abstract

In der vorliegenden Arbeit entwickeln und präsentieren wir theoretische Überlegungen zum Rough-Bergomi-Modell als Teil der größeren Klasse an Rough-Volatility-Modellen. Diese Modelle erweitern herkömmliche stochastische Volatilitätsmodelle, indem sie fraktionelles Brown’sches Rauschen einbeziehen. Die Behandlung dieser Modelle erfordert die Beschäftigung mit nichtlinearen, sowohl deterministischen als auch stochastischen Volterra-Gleichungen sowie der allgemeinen Theorie Gauß’scher Prozesse. Der erste Hauptteil der Arbeit untersucht die Martingaleigenschaft im Rough-Bergomi-Modell. Zunächst analysieren wir detailliert ein zentrales Resultat von Paul Gassiat aus dem Jahr 2019, welches die Martingaleigenschaft in einer gewissen Klasse an Rough-Volatility-Modellen charakterisiert. Dies erlaubt uns, eine ähnliche Charakterisierung in einer Multifaktorversion des Rough-Bergomi-Modells herzuleiten. Darüber hinaus rechtfertigen wir im Rough-Bergomi-Modell die theoretische Anwendung des Satzes von Girsanov, um vom Drift unter dem physikalischen Maß zur risikoneutralen Dynamik überzugehen. Anschließend stellen wir die allgemeine Frage, wann der Supremumsprozess des Aktienpreises über ein kompaktes Zeitintervall eine endliche Erwartung besitzt. Wir leiten eine allgemeine obere Schranke für diesen Erwartungswert her und wenden diese auf das Rough-Bergomi-Modell und unter zusätzlichen Voraussetzungen auf das Rough-Heston-Modell an. Letztlich führt dies zur Charakterisierung, dass die Endlichkeit dieser Erwartung in beiden Fällen äquivalent zur Martingaleigenschaft im jeweils zugrundeliegenden Modell ist. Während diese Tatsache im Rough-Heston-Modell bereits bekannt ist, ist diese Erkenntnis im Rough-Bergomi-Modell neu. Im letzten Kapitel zeigen wir, dass allgemeine Resultate zu Preisschranken für europäische Optionen und zur Äquivalenz von Superreplikationspreisen auf das Rough-Bergomi-Modell anwendbar sind. Dabei weisen wir insbesondere nach, dass das Rough-Bergomi-Modell gemäß der Definition von Dolinsky und Neufeld aus dem Jahr 2018 einen 'Fully Incomplete Market' abgibt. Daraus folgt, dass der robuste, modellfreie Superreplikationspreis mit dem im Rough-Bergomi-Modell berechneten Superreplikationspreis übereinstimmt.

In this work, we develop and present theoretical insights primarily focusing on the rough Bergomi model as a specific instance of a rough volatility model. These models generalize classical stochastic volatility by incorporating volatility driven by fractional Brownian noise. Analyzing these models demands rigorous theoretical and mathematical attention, particularly regarding the properties of non-linear deterministic and stochastic Volterra integral equations, as well as the general theory of Gaussian processes. The first major part examines the martingale property in the rough Bergomi model. To this end, we analyze one of the key result from a paper of Paul Gassiat published in 2019, which characterizes the martingale property in a certain class of rough volatility models. This analysis enables us to derive a similar characterization for the martingale property in a multi-factor version of the rough Bergomi model. In addition, we theoretically justify the application of Girsanov's theorem to change the drift under the physical measure to the risk-neutral dynamics within the rough Bergomi model framework. Next, we investigate whether the supremum process of the spot price over a compact time interval has finite expectation. We derive in some generality upper bounds for this expectation, which we further apply to the rough Bergomi model and under additional assumptions the rough Heston model. Ultimately, this leads to the characterization that, in both models, the supremum process has finite expectation if and only if the corresponding model defines a proper martingale. While this result is established for the rough Heston model, it is novel for the rough Bergomi model. Finally, we demonstrate that general results concerning European option price bounds and the equivalence of super-replication prices can be applied to the rough Bergomi model. Specifically, we show that the rough Bergomi model defines a fully incomplete market, a notion established by Dolinsky and Neufeld in 2018. It follows that the robust and model-free super-replication price coincides with the super-replication price given by the rough Bergomi model.