Asymptotisches Verhalten der erwarteten diskontierten Kapitalzuführungen im klassischen Modell mit Rückversicherung

Abstract

Diese Arbeit beschäftigt sich mit Fragestellungen aus der Ruintheorie. Es werden Größen wie die Ruinwahrscheinlichkeit untersucht, sowie die diskontier-ten Kapitalzuschüsse, die gezahlt werden müssten, um den Überschuss nicht-negativ zu halten. In dieser Arbeit wird das klassische Risikomodell von Cramér-Lundberg verwendet und mit einer proportionalen Rückversicherungsquote erweitert. Ähnlich wie bei Gerber-Shiu Funktionen sollen die erwarteten diskontierten Kapitalzuschüsse eine Verallgemeinerung der Ruinwahrscheinlichkeit darstellen. Hierbei werden die Kapitalzuschüsse in Abhängigkeit von Überschuss vor Ruin und Defizit zum jeweiligen Ruin betrachtet. Mit Methoden aus der Ruintheorie, lassen sich für spezielle Verteilungen bekannte explizite Resultate für die Zuschussfunktion, sowie für die Ruinwahrscheinlichkeit herleiten.Das zentrale Thema dieser Arbeit ist jedoch das asymptotische Verhalten dieser Funktionen inklusive einer proportionalen Rückversicherung mit konstanter Quote zu untersuchen. Als Ergänzung wird auch eine numerische Lösung vorgestellt.

This thesis explores topics within ruin theory, focusing on risk measures such as the probability of ruin and the discounted capital injections required when the reserve process becomes negative. The classical Cramér-Lundberg risk model is used in this study and extended by a proportional reinsurance. Similar to Gerber-Shiu functions, the expected discounted capital injections aim to extend the concept of ruin probability. Here, the capital injections are analyzed as functions of the surplus before ruin and the deficit at ruin. Using methods from ruin theory, known explicit results for the injection function and ruin probability can be derived for specific distributions. However, the central focus of this work is to investigate the asymptotic behavior of these functions, including proportional reinsurance, with constant quote. Additionally, a numerical solution is presented as a supplement.