Deep operator learning in computational solid mechanics

Abstract

Numerische Methoden wie die Finite Elemente Methode (FEM) oder die Isogeometrische Analyse (IGA) sind wichtige Werkzeuge zur Bewertung mechanischer Eigenschaften und verringern den Bedarf an physischen Prototypen. In der Praxis kommt es jedoch häufig vor, dass eine Simulation mehrfach durchlaufen werden muss, etwa bei der Untersuchung verschiedener Entwurfsvarianten oder im Rahmen automatisierter Optimierungsprozesse. Solche sogenannten Multi-Query-Szenarien erfordern eine Vielzahl an Simulationen und machen den Einsatz von klassischen, rechenaufwändigen Methoden oft unpraktisch. Abhilfe schaffen hier Reduced-Order-Modelle (ROMs), die darauf abzielen, die Rechenzeit drastisch zu verringern, etwa für Anwendungen in der schnellen Entwurfsbewertung (Design Real-Time). Diese Arbeit untersucht in diesem Zusammenhang das Isogeometric Analysis Network (IgANet), eine von Matthias Möller entwickelte Methode, für den Einsatz in der Strukturmechanik. IgANet kombiniert die glatten Basisfunktionen und die exakte Geometriebeschreibung der Isogeometrischen Analyse mit einem neuronalen Netz. Jenes Netz arbeitet nicht rein datenbasiert, sondern wird durch Minimierung der physikalischen Gleichungs- und Randbedingungsresiduen trainiert. Zum Einsatz kommt dabei die isogeometrische Kollokationsmethode, bei der die zugrunde liegenden Differentialgleichungen punktweise in starker Form erfüllt werden. Das implementierte IgANet-Framework wird auf linear-elastische Probleme in zwei Dimensionen angewendet. Die modulare Architektur erlaubt eine flexible Vorgabe von Geometrien, Randbedingungen und gegebenenfalls auch referenzbasierten Trainingsdaten. Zwei Testszenarien auf einer Einheitsquadrat-Geometrie wurden hinsichtlich Genauigkeit, Konvergenzverhalten und Trainingsdauer analysiert. Die Ergebnisse zeigen, dass das Netzwerk in der Lage ist, Lösungen mit einer vergleichbaren Genauigkeit zu liefern wie klassische numerische Verfahren. Ein besonderer Fokus liegt auf der Generalisierungsfähigkeit des Ansatzes. Bereits nach dem Training auf einer einzelnen Geometrie kann das Netzwerk auch für abgeänderte geometrische Domänen physikalisch valide Lösungen vorhersagen, indem lediglich die Eingabekontrollpunkte angepasst werden. Ein Training auf mehreren Geometrien kann die Vorhersagequalität dabei weiter verbessern. Dies unterstreicht das Potenzial von IgANet als Deep Operator Learning Methode, die schnelle Analysen über einen großen Parameterraum hinweg ermöglicht und sich somit ideal für den Einsatz in Multi-Query-Umgebungen eignet.

In the design of engineering components, numerical methods such as the Finite Element Method (FEM) or Isogeometric Analysis (IGA) have become essential tools for evaluating structural performance, significantly reducing the need for physical prototyping. However, the design process frequently involves so-called multi-query scenarios - whether due to manual iterations by the designer seeking the optimal configuration, or as part of automated numerical optimization or uncertainty quantification workflows. In such cases, repeatedly running high-fidelity simulations becomes computationally prohibitive. A promising solution to this challenge is the use of Reduced OrderModels (ROMs). In this context of ROMs, the thesis investigates the application of the Isogeometric Analysis Network (IgANet), a method introduced by Matthias Möller, to structural mechanics problems. IgANet combines the smooth basis functions and exact geometry representation of IGA with neural networks trained in a physics-informed manner. Rather than relying solely on data, the network is trained by minimizing the residuals of the governing equations and boundary conditions. The underlying numerical approach is the isogeometric collocation method, which enforces the partial differential equations (PDEs) in their strong form at predefined collocation points. The implemented IgANet framework is applied to simulate two-dimensional linear elasticity problems. Its modular code architecture allows for flexible configuration of geometries, boundary conditions, as well as supervised training using reference solutions from both Galerkin and collocation-based solvers. Two numerical test cases, defined on a unit square domain, are evaluated with respect to accuracy, convergence behavior, and training time. The results demonstrate that the trained network can achieve solution quality comparable to that of conventional numerical methods. Particular emphasis is placed on evaluating the method's generalization capability. When trained on a single geometry, the framework is already able to predict solutions for modified domains without the need for retraining, simply by adjusting the input control points. However, training on multiple geometries can further improve the network's predictive power. This highlights the potential of IgANet as a Deep Operator Learning tool, enabling exploration of a vast design space in design real-time as well as use in multi-query scenarios.