Das 4/2-Modell mit Hawkes-Sprungkomponente : Theorie, Kalibrierung und Anwendung

Abstract

In dieser Arbeit stellen wir ein stochastisches Volatilitätsmodell mit einem neuen Ansatz für den Sprunganteil vor. Sprünge machen stochastische Volatilitätsmodelle realistischer, da die meisten stochastischen Volatilitätsmodelle im Gegensatz zu echten Preisprozessen stetig sind. Mit einem Sprunganteil modelliert man Kurssprünge und Kurseinbrüche, die an realen Märkten vorkommen. Als Grundmodell wird ein 4/2-Modell verwendet, das in der Lage ist, viele Dynamiken des Marktes zu erfassen, die durch andere beliebte Modelle, wie das Heston-Modell, nicht erfasst werden. Im Sprunganteil verwenden wir für die Vorhersage von Ereigniszeiten den Attentive Neural Hawkes-Prozess und für die Größe der Sprünge das Unconstrained Monotonic Neuronale Netz. Insgesamt erhalten wir dadurch ein vielseitiges Modell, das in der Lage ist, Grunddynamiken richtig zu modellieren und Sprünge inklusive Sprunghöhe richtig zu erfassen. Solche flexiblen Modelle sind in der Finanzmathematik unerlässlich, insbesondere bei der Bepreisung von Finanzprodukten und Risikomanagement. Um zu demonstrieren, dass unser Modell Marktpreise und Dynamik erlernen kann, entwickeln wir einen einfachen Ansatz, mit dem wir unser Modell leicht an Optionsdaten kalibrieren können. Für die Auswertung unseres Modells verwenden wir einen Out-of-Sample-Datensatz und stellen fest, dass unser Modell Marktpreise von amerikanischen Optionen solide reproduziert.

In this thesis, we present a stochastic volatility model featuring a new approach for the jump component. Since many stochastic volatility models are continuous, unlike real price processes, incorporating jumps is essential to increase realism of these models. Jumps are used to model the crashes and spikes observed in real markets. As our base model we use the 4/2 stochastic volatility model, which has been shown to correctly capture many market dynamics missed by other popular models, such as the Heston model. For jump timings we use an Attentive Neural Hawkes Process and the jump sizes we model with an Unconstrained Monotonic Neural Net. This yields a versatile model, that can capture market dynamics, jump times and jump sizes included. Flexible models like this are crucial in financial mathematics, especially in pricing financial products and in risk management. In order to demonstrate that our model is capable of capturing real market dynamics and market prices, we develop a simple approach to calibrate our model to options data. Testing on out-of-sample data shows that our model is able to approximate American option prices reliably.