Explainable robust random surfaces

Abstract

Diese Arbeit befasst sich mit dem Problem der robusten Kovarianzschätzung und der interpretierbaren Ausreißererkennung auf Random Surfaces mit separabler Kovarianzstruktur. Wir stellen eine Methode vor, die sowohl die Robustheit als auch die Interpretierbarkeit verbessert, indem sie Random Surfaces mit der matrix-variaten Verteilung ihrer Basisfunktionsdarstellungen verknüpft. Aufbauend auf dieser Verbindung wenden wir den kürzlich entwickelten Matrix Minimum Covariance Determinant (MMCD)-Schätzer zusammen mit einer getrimmten funktionalen Mahalanobis-Semi-Distanz an, um robuste Schätzungen der Mittel- und Kovarianzfunktionen zu erhalten. Dieses Konzept wurde bereits für multivariate funktionale Daten entwickelt, jedoch nicht für Random Surfaces. Daher übertragen wir viele der Konzepte und Erkenntnisse aus dem Bereich der multivariaten funktionalen Daten auf Random Surfaces. Zudem werden Shapley-Werte im funktionalen Kontext betrachtet, die dabei helfen, den funktionalen Ausreißergrad in die Beiträge einzelner Raum- und Zeitintervalle zu zerlegen. Dadurch werden funktionale Mahalanobis-Semi-Distanzen bei Ausreißerbeobachtungen interpretierbar. Eine neuartige Formulierung zur Berechnung dieser Shapley-Werte unter Beibehaltung der charakteristischen Merkmale Shapley-basierter Erklärungen wird vorgestellt. Der daraus resultierende statistische Rahmen, der robuste Distanz\-maße, MMCD-basierte Schätzung und eine Shapley-basierte Zerlegung integriert, bietet eine interpretierbare Lösung für die robuste Analyse von Random Surfaces mit separabler Kovarianzstruktur. Obwohl die theoretischen Ergebnisse nur teilweise bewiesen sind, da sie sich als nicht trivial erweisen, stützen eine Simulationsstudie und reale Datensätze deutlich unsere Aussagen und die Nützlichkeit dieser neuartigen Methode.

This thesis tackles the problem of robust covariance estimation and interpretable outlier detection on random surfaces with a separable covariance structure. We introduce a method that enhances both robustness and interpretability by linking separable random surfaces to the matrix-variate distribution of their basis function representations. Building on this connection, we apply the recently proposed Matrix Minimum Covariance Determinant (MMCD) estimator alongside a truncated functional Mahalanobis semi-distance to obtain robust estimates of the mean and covariance functions. This concept has already been developed on multivariate functional data, but not on random surfaces. We therefore take many of the concepts and findings on multivariate functional data and extend them to random surfaces. Also, Shapley values in the functional setting are considered, which help break down functional outlyingness into the contributions of individual space and time intervals. This makes the outlying observations interpretable. A novel formulation to compute those Shapley values with the core properties of Shapley value-based explanations is introduced. The resulting framework, which integrates robust distance measures, MMCD-based estimation, and Shapley-based decomposition, offers an interpretable solution for robustly analyzing random surfaces with separable covariance structure. Even though the theoretical results are only partly proven since they seem non-trivial, a simulation study and real-world datasets seem to strongly support our claims and the usefulness of this novel method.