Stochastic Volterra integral equations : central limit theorems, non-Markovianity and Markovian lifting

Abstract

In der vorliegenden Arbeit untersuchen wir stochastische Volterra-Integralgleichungen (SVIEs) vom Faltungs-Typ, Hilbertraumwertige Markowsche Lifts jener, Grenzwertsätze in kleiner Zeit für beide Klassen von Prozessen und vier unabhängige Beweiskonzepte, um zu zeigen, dass Lösungen von hinreichend nicht-degenerierten SVIEs die Markow-Eigenschaft nicht erfüllen können. Obwohl Letzteres in der Literatur als gegebener Fakt aufgefasst wird, war ein rigoroser mathematischer Beweis bis jetzt noch offen. Im ersten Teil dieser Dissertation beweisen wir zentrale Grenzwertsätze (CLTs) in kleiner Zeit für die endlich-dimensionalen Verteilungen von hinreichend glatten Transformationen von Lösungen von stochastischen Volterra-Integralgleichungen und eine Verallgemeinerung zu einem pfadweisen CLT. Wir fokussieren uns auf Kerne, die in kleiner Zeit die Asymptotik einer Potenzfunktion aufweisen, und Koeffizienten, die lineares Wachstum und Hölder-Bedingungen erfüllen. Als Anwendung des erhaltenen pfadweisen CLTs in Hinblick auf Modelle rauer Volatilität erhalten wir weiters in drei Skalierungen asymptotische Preisformeln für digitale Kaufoptionen auf die realisierte Varianz, welche insbesondere auf eine hohe Robustheit in Bezug auf die Parameter des zugrundeliegenden Volatilitätsprozesses schließen lassen. Unsere Resultate gelten insbesondere für die raue Version des Heston-Modells. Wir entwickeln außerdem eine Konstruktion für Hilbertraum-wertige Markowsche Lifts von SVIEs, welche insbesondere für skalare vollständig monotone Kerne, deren Bernstein-Maße eine milde Momentenbedingung erfüllen, geeignet ist. Weiters zeigen wir entsprechende CLTs beziehungsweise pfadweise CLTs für Transformationen dieser Markowschen Lifts unter geeigneten stetigen linearen Funktionalen. Als Spezialfall enthalten diese Resultate insbesondere die obigen CLTs für den ursprünglichen Volterra-Prozess selbst, sofern die Anwendung eines bestimmten Projektionsoperators gestattet ist. In unserem ersten Beweis für die Nichterfüllung der zeithomogenen Markow-Eigenschaft für stochastische Volterra-Integralgleichungen können wir als Anwendung des oben erhaltenen CLTs für SVIEs einen Zusammenhang zur potenziell nicht-Markowschen Natur des Gaußschen Grenzprozesses herstellen. Wir können insbesondere zeigen, dass wenn der Grenzprozess kein Markow-Prozess ist, auch der ursprüngliche Volterra-Prozess nicht die zeithomogene Markow-Eigenschaft erfüllen kann. Mit der Ausnahme des SDE-Falles, welcher im Allgemeinen Markowsch ist, enthält unser Resultat ohne zusätzliche Einschränkungen an den Hurst-Parameter alle SVIEs mit Riemann-Liouville und Gamma-Kernen. Unsere zweite und dritte Methode sind für SVIEs mit affinen Drifts maßgeschneidert. Da für jene Prozesse semi-explizite Formeln für Erwartungswerte und bedingte Erwartungswerte bekannt sind, können wir über das Lösen von Integro-Funktionalgleichungen zeigen, dass eine SVIE-Lösung mit einer exponentiellen oder konstanten Startbedingung, welche die zeithomogene Markow-Eigenschaft erfüllt, notwendigerweise auch einen Kern von demselben Typ besitzen muss. Wir erhalten analoge Resultate, wenn der Drift verschwindet und wir zusätzlich strukturelle Annahmen über den Diffusionskoeffizienten treffen. Weiters können wir anhand der semi-expliziten Formel für bedingte Erwartungswerte zeigen, dass der Volterra-Quadratwurzel-Prozess aufgrund der nicht-Messbarkeit eines bestimmten Pfad-Funktionals nicht einmal die zeitinhomogene Markow-Eigenschaft erfüllen kann. In unserem universellsten Resultat über die Nichterfüllung der zeitinhomogenen Markow-Eigenschaft betrachten wir abschließend den allgemeinen Fall d-dimensionaler SVIEs mit matrixwertigen Volterra-Kernen und einer gegebenenfalls stochastischen Anfangskurve, welche messbar bezüglich der zum Zeitpunkt 0 gegebenen Informationen ist. Im Zuge einer abstrakten Konstruktion Markowscher Lifts dieser SVIEs in geeignete separable Hilberträume, welche insbesondere den zuvor eingeführten Lift als Spezialfall enthält, sind wir in der Lage, die Nichterfüllung der Markow-Eigenschaft zu beweisen, wenn ein zulässiger, hinreichend nicht-degenerierter zweiter Volterra-Kern existiert, welcher aus einer Transformation des ursprünglichen Kernes hervorgeht. Wenn die Anfangskurve nicht deterministisch ist, muss weiters eine ähnliche Approximation auch für jene konvergieren. Solche Transformationen werden üblicherweise über Anwendungen geeigneter beschränkter linearer Operatoren auf den zugehörigen Lift realisiert. Die hier erhaltenen Resultate beinhalten insbesondere die Klasse der vollständig monotonen und jene der absolut stetigen Kerne, welche geeignete technische Integrierbarkeitsbedingungen erfüllen, um die Konstruktion des zugehörigen Lifts sicherzustellen. Unsere Resultate beinhalten zum Beispiel d-dimensionale SVIEs mit (diagonalen) rauen, regulären und zeittranslations-regularisierten Riemann-Liouville und Gamma-Kernen und Hölder-stetigen Drift- und Diffusionskoeffizienten.

In this work, we study stochastic Volterra integral equations (SVIEs) of convolution type, frameworks for Hilbert space-valued Markovian lifts of the latter, small-time limit theorems for both classes of processes and four independent proof concepts for verifying that solutions to sufficiently non-degenerate SVIEs cannot possess the Markov property. While the latter appears as a unanimously agreed fact in the literature, so far a rigorous mathematical proof thereof has been absent. In the first part of the thesis, we prove a small-time central limit theorem (CLT) for the finite-dimensional distributions of sufficiently smooth transformations of solutions to stochastic Volterra integral equations as well as its extension to a functional CLT. Here we focus on kernels with small-time power law asymptotics and coefficients satisfying linear growth and Hölder conditions. Moreover, as an application of the obtained functional CLT in the context of rough volatility models, we derive asymptotic pricing formulae for digital calls on the realized variance in three different regimes showcasing high robustness with regard to the parameters of the underlying volatility process. The results hold in particular for the rough Heston model. Furthermore, we introduce a framework of Hilbert space-valued Markovian lifts for SVIEs which is particularly suited for scalar completely monotone kernels whose Bernstein measures fulfill a mild moment condition. We proceed by deriving a corresponding small-time CLT and a functional CLT also for transformations of the Markovian lift under suitable continuous linear functionals. As a special case, this contains in particular the above CLT for the Volterra process itself, provided that a certain projection operator is applicable. As an application of the CLT framework, the first approach presented for proving the failure of the time-homogeneous Markov property for stochastic Volterra integral equations unveils a connection with the non-Markovianity of the Gaussian limit process obtained in the above CLT. In particular, we show that once this limit process is not a Markov process, also the original Volterra process cannot possess the time-homogeneous Markov property. Except for the generally Markovian SDE case, our result contains SVIEs with Riemann-Liouville and gamma kernels for the full range of the Hurst parameter. Furthermore, our second and third method are specifically designed for SVIEs with affine drifts. As for these processes there exist semi-explicit formulae for expectations and conditional expectations, we can show by solving certain integro-functional equations that an SVIE solution with an exponential or constant initial curve which fulfills the time-homogeneous Markov property necessarily has to possess a kernel of the same type. When the drift vanishes, analogous results are obtained under structural assumptions on the diffusion coefficient. Moreover, based on the semi-explicit formula for conditional expectations, we show that by the non-measurability of a certain path functional, the Volterra square-root process cannot even possess the time-inhomogeneous Markov property. Finally, in our most universal result on the failure of the time-inhomogeneous Markov property, we consider general d-dimensional SVIEs with matrix-valued Volterra kernels and a potentially random initial curve which is measurable with respect to the information provided at time 0. In an abstract framework for Markovian lifts of these SVIEs onto a suitable separable Hilbert space, which includes the previously introduced lift as a special case, we prove the failure of the Markov property once there exists an admissible, suitably non-degenerate second Volterra kernel that can be obtained by perturbations of the original Volterra kernel, while similar approximations have to converge also for the initial curve, if it is random. Such perturbations are usually realized via applications of appropriate bounded linear operators to the corresponding lift. In particular, this framework covers the classes of completely monotone and absolutely continuous kernels which fulfill certain technical integrability conditions required for constructing the corresponding lift. For example, our results include d-dimensional SVIEs with (diagonal) rough, regular and shift-regularized Riemann-Liouville and gamma kernels and Hölder continuous drift and diffusion coefficients.