Affine logarithmic inequalities and Minkowski problems related to fractional perimeters

Abstract

Für eine beschränkte Borelsche Menge E im R^n und s aus (0,1) wird der fraktionale s-Perimeter untersucht, was als ein Spezialfall des Sehnenpotenzintegrals aufgefasst werden kann. Diese Arbeit behandelt Minkowski-Probleme und affine funktionale Ungleichungen im Zusammenhang mit fraktionalen Perimetern. Für eine funktionale Erweiterung des Sehnenpotenzintegrals haben Haddad und Ludwig die affinen Hardy-Littlewood-Sobolev-(HLS-)Ungleichungen gezeigt haben. In dieser Arbeit werden die Grenzfälle der affinen HLS-Ungleichungen untersucht: Dabei konnte einerseits die affine logarithmische HLS-Ungleichung und andererseits eine Beckner-artige affine logarithmische Sobolev-Ungleichung hergeleitet werden. Darüber hinaus werden Variationsformeln für anisotrope fraktionale Perimeter aufgestellt, die zu einer neuen Familie geometrischer Maße führen. Deren Grenzverhalten wird analysiert und das entsprechende Minkowski-Problem gelöst. Insbesondere wird eine notwendige Bedingung für die Konvexität von Optimierern in der anisotropen fraktionalen isoperimetrischen Ungleichung bewiesen.

For a bounded Borel subset E of R^n and s in (0,1), the fractional s-perimeter is investigated which is a specal case of the chord power integral. This thesis investigates Minkowski-type problems and affine functional inequalities associated with fractional perimeters. For a functional extension of the chord power integral Haddad and Ludwig established the affine Hardy-Littlewood-Sobolev (HLS) inequalities. In the thesis, the limiting cases of the affine HLS inequalities are studied: on the one hand the affine logarithmic HLS inequality is obtained; and on the other hand, a Beckner-type affine logarithmic Sobolev inequality is derived.In addition, variational formulas for anisotropic fractional perimeters are established, leading to a new family of geometric measures. Their limiting behavior is studied, and the corresponding Minkowski problem is solved. In particular, a necessary condition for the convexity of optimizers in the anisotropic fractional isoperimetric inequality is proved.