Bifurcation analysis via numerical continuation for nonlinear fourth-order partial differential equations

Abstract

In dieser Arbeit befassen wir uns mit numerischer Bifurkationsanalyse von Gleichgewichtslösungen. Wir betrachten parameterabhängige dynamische Systeme, die von nichtlinearen elliptischen PDGs erzeugt werden. Im ersten Kapitel nennen wir theoretische Resultate zu nichtlinearen elliptischen PDGs und Fredholm Operatoren. Mithilfe der Fredholm Operatoren können wir analytische Resultate der Bifurkationstheorie zeigen, auf welche später die numerischen Methoden aufbauen. Für die numerischen Bifurkationsanalyse benötigen wir hauptsächlich Pfadverfolgungsalgorithmen und Stabilitätsanalysen der Gleichgewichtslösungen. Beides lässt sich mit FEM numerisch lösen. Unsere Theorie zu den numerischen Methoden beinhaltet auch eine Konvergenzanalyse der FEM angewandt an nichtlinearen elliptischen Operatoren und diskreten Eigenwertproblemen. Wir verwenden die numerischen Methoden zum Analysieren verschiedener PDGs definiert auf rechteckigen Gebieten im $R 2$ und abhängig von eindimensionalen Parametern. Alle unsere numerischen Beispiele sind gut dokumentiert, der Source Code wird aber nur für einfach Probleme im Anhang gezeigt. Die Software wurde selbst in Python geschrieben und baut auf verschiedenen Packages auf, zum Beispiel Fenics um die FE Methoden anzuwenden oder PETSc um Lineare Algebra Aufgaben zu lösen. In einfache Beispiele analysieren wir die Bratu und Allen-Cahn Gleichung mit einfach Randbedingungen. Weitere Beispiele zeigen auf, welche Schwierigkeiten bei symetrischen Gebieten oder Gleichungen mit Massenerhalten auftreten können. Gleichungen vierter Ordnung lassen sich numerisch mit einem System von Gleichungen zweiter Ordnung diskretisieren. Um die Bifurkationsanalyse an gemischte Formulierungen anzuwenden, muss das numerische Problem umgeschrieben werden. Es wird auch ein Beispiel einer Gleichung vierter Ordnung berechnet, die vierte Ordnung der Gleichung ist durch eine Biharmonische Funktion gegeben. Um dieses Problem zu analysieren, verwenden wir eine gemischte Formulierung und setzten unsere theoretischen Ideen um.

The focus of this thesis lies on numerical bifurcation analysis of steady states. We use dynamical systems generated by nonlinear elliptic PDEs which depend on one-dimensional bifurcation parameters. In the first chapter we work on the theory of nonlinear elliptic differential equations and Fredholm operators. Based on Fredholm operators we can give some results of the analytical bifurcation theory which are later used for numerical methods. Numerical bifurcation analysis is mainly based on path following and stability analysis of steady states. Both problems can be solved numerically with FEM. Our theory on numerical methods includes convergence results of FEM applied to nonlinear elliptic operators and discrete eigenvalue problems. In all of our practical examples we use PDEs on rectangular domains in $\R 2$ with an one-dimensional bifurcation parameter. We use different equations for our numerical examples. Any of those examples is fully documented, but we only give the source code for the basic examples. The software is written in Python and is mainly based on the FEM packages FEniCS and the linear algebra package PETSc. We also use SLEPc to solve eigenvalue problems and some other packages for lower-level tasks. The basic examples consist of numerical bifurcation analyses of the Bratu and Allen-Cahn problem with simple boundary conditions. We give additional examples to show difficulties with symmetric domains and mass constraints. For fourth-order problems we use a mixed formulation and simple FE spaces. To apply the numerical bifurcation theory with a mixed formulation we need to adapt the dynamical system for the stability analysis. At the end, we give a numerical bifurcation analysis of a fourth-order problem of Biharmonic type. To solve this problem a mixed formulation is used and the system is adapted based on our analytical results.