Expansion of the IgANets framework to non-linear computational solid mechanics

Abstract

IgANets ist ein Framework für die Entwicklung von neuronalen Netzen, welches auf einer Kombination von physikbasierten neuronalen Netzen und Operator-Netzwerken beruht. Angewandt wird IgANets auf splinebasierte Geometrien im Rahmen von Isogeometrischer Analyse. Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Anwendung dieses Frameworks auf die Gleichgewichtsbedingung der statischen, nichtlinearen Kontinuumsmechanik. Fokus wird gelegt auf isotropes, hyper-elastisches Materialverhalten nach dem neo-Hookschen Materialgesetz. Ebene B-spline Geometrien, bestehend aus einem Patch, werden Dirichlet-Randbedingungen unterworfen, wobei die resultierende Verformung von dem neuronalen Netz vorhergesagt wird. Das entwickelte neuronale Netz ist selbstlernend in dem Sinne, dass es keine annotierten Daten für das Training benötigt. Dies wird ermöglicht, indem die zugrundeliegenden physikalischen Gesetze der Verformungsenergie direkt in die Loss-Funktion integriert werden. Die Ergebnisse zeigen, dass sich das entwickelte neuronale Netz hervorragend als Gleichungslöser eignet, insofern es auf nur eine spezielle Instanz eines Problems angewandt wird. Zur Validierung werden Vergleichsrechnungen mittels traditioneller numerischer Methoden angestellt. Im Anschluss daran wird ein generisches Netzwerk mit verschieden vielen zufällig generierten Trainingsdaten trainiert. Dabei zeigt sich klar, dass die Genauigkeit des Netzwerks mit wachsendem Trainings-Pool zunimmt. Wird das Netzwerk auf neue, vom Training ausgeschlossene, Daten angewandt, um die Verformung vorherzusagen, ergibt sich ein gemittelter Fehler von wenigen Prozent bezogen auf die Dimensionen der unverformten Referenz-Geometrien. Zusätzlich wird ein konventionelles, datengetriebenes Netzwerk anhand von numerischen Lösungen trainiert. Beide Varianten werden miteinander verglichen und es zeigt sich, dass das physikbasierte Netzwerk nach dem IgANets-Prinzip gleich gut, wenn nicht besser performt.

IgANets is a neural network framework that combines ideas of physics-informed neural networks and deep operator networks and applies these to spline-based geometric domains in an isogeometric analysis setting. This work explores the application of IgANets within the realm of 2D continuum mechanics to the static equilibrium equation where the focus lies on large, hyperelastic deformations, governed by an isotropic neo-Hookean material law. Single-patch B-spline geometries are subjected to Dirichlet boundary conditions and the resulting deformations are predicted by the neural network. This neural network is self-learning, meaning no labeled data is necessary for its training. This is achieved by integrating the physics of the problem directly into the loss function in form of the total potential energy of the respective deformation. Results show that the network applied as pure solver to a single instance can predict the solution very well - comparisons are carried out with traditionally obtained numeric solutions. After that, a generic network is trained with varying number of randomly generated samples and it becomes evident that its inference capabilities improve with increasing training size. The mean deformation error of the generic network's predictions for unseen data is in the low single digit percentages when comparing it to the dimensions of the original geometry. Additionally, a purely data-driven network is trained on traditionally calculated solutions. Both implementations are compared and show very similar effectiveness with the IgANets network performing at least as good as the data-driven one.