Gerber-Shiu Risikotheorie

Abstract

In der fortgeschrittenen Ruintheorie wird das Gerber-Shiu-Maß in stetiger Zeit durch Skalierungsfunktionen bewiesen und charakterisiert. Ziel dieser Diplomarbiet ist es, die Resultate aus der Gerber-Shiu Risk Theory von Andreas E. Kyprianou in ein Modell diskreter Zeit zu übertragen, um dadurch ein vertieftes Verständnis der diskreten Ruin-Theorie und der Skalierungsfunktionen zu ermöglichen. In dieser Diplomarbeit ist der diskrete Cramér–Lundberg-Prozess eine aufwärtssprungfreie Irrfahrt, also in der Versicherung bekannt als zusammengesetztes Binomialmodell. Das erste und das zweite exponentielle Martingal spielen eine zentrale Rolle bei der Konstruktion der Skalierungsfunktionen in diskreter Zeit. Die Skalierungsfunktionen ermöglichen die Analyse für die Zeit bis zum Ruin und des Gambler’s Ruin-Problem. Das diskrete Gerber-Shiu-Maß bildet das zentral Resultat dieser Diplomarbeit und wird über die diskrete Skalierungsfunktionen charakterisiert. Der Beweis der Zähldichte des Gerber-Shiu-Maßes stützt sich auf die Existenz der diskreten Resolventendichte sowie auf die diskrete Kompensationsformel.

In advanced ruin theory, the Gerber-Shiu measure in continous time is proved and is characterized by scale functions. The aim of this diploma thesis is to adapt the results from Andreas E. Kyprianou’s Gerber–Shiu Risk Theory to a discrete-time model, providing a deeper insight into discrete ruin theory and scale functions. In this thesis, the discrete Cramér-Lundberg process is modeled as a skip-free upwards random walk, also known in insurance as the composite binomial model. The first and second exponential martingales play a central role in the construction of scale functions in discrete time. The scale functions enable the analysis of the time to ruin and the gambler’s ruin problem. The discrete Gerber-Shiu measure constitutes the central result of this thesis and is characterized by the discrete scale functions. The proof of the counting density of the Gerber-Shiu measure relies on the existence of the discrete resolvent density and on the discrete compensation formula.