Zerlegungsgleichheit von Polytopen

Abstract

In dieser Diplomarbeit wird das Problem der Zerlegungsgleichheit von Polytopen behandelt. Nach einer kurzen Einführung der grundlegenden Begriffe wird die Frage, wann zwei Polytope in der Ebene zerlegungsgleich sind, mit dem Satz von Bolyai-Gerwien vollständig gelöst. Danach wird ein formales Kriterium für beliebige Dimensionen hergeleitet. Insbesondere wird gezeigt, dass zwei Polytope genau dann zerlegungsgleich sind, wenn sie ergänzungsgleich sind. Schließlich wird mit dem wichtigen Satz von Dehn-Sydler eine konkrete Charakterisierung für Zerlegungsgleichheit im dreidimensionalen Raum bewiesen. Daraus lässt sich dann eine entsprechende Charakterisierung im vierdimensionalen Raum, der Satz von Jessen, ableiten.

In this thesis, the problem of equidissectability of polytopes is discussed. After a short introduction of the basic notions, the question of when two polytopes in the plane are equidissectable is completely solved with the Bolyai-Gerwien theorem. After that, a formal criterion for arbitrary dimensions is obtained. In particular, it is shown that two polytopes are equidissectable if and only if they are equicomplementable. Finally, the important Dehn-Sydler theorem, which is a practical characterization for equidissectability in three-dimensional space, is proven. Using this result, a corresponding characterization in four-dimensional space, Jessen's theorem, is obtained.