Entropy-preserving numerical schemes for nonlinear diffusion equations

Abstract

Das Verhalten von bestimmten Entropie- beziehungsweise Energiefunktionalen von partiellen Differntialgleichungen wird üblicherweise als eine intrinsische Eigenschaft der zugrundeliegenden Gleichung angesehen. Aus diesem Grund ist es von großem Interesse, numerische Verfahren zu entwickeln, die die selben Entropiestrukturen aufweisen wie ihre kontinuierlichen Pendants. Aufgrund der zumeist nichtlinearen Natur sowohl der Entropien als auch der partiellen Differentialgleichungen, ist es eine nichttriviale Aufgabe, diese Eigenschaften auf ein diskretes Level zu "übersetzen". In dieser Arbeit präsenteren wir einige Beispiele von derartigen Übersetzungen, im Rahmen derer wir diskrete Werkzeuge entwickeln können, die es uns erlauben, die aus dem kontiuierlichen bekannten Resultate nachzuahmen. Das erste Hauptresultat sind dabei diskrete Beckner Ungleichungen, die es uns zusammen mit einer nichtlinearen partiellen Integrationsformel ermöglichen, die Entropiestruktur der porösen-Medien-Gleichung für einen großen Parameterbereich zu erhalten. Bezüglich der Zeit(semi)diskretisierung zeigen wir Bedingungen des abstraken Cauchyoperators, unter denen die Lösungen des zugehörigen Cauchy-Problems das selbe Entropieverhalten aufweisen wie die Runge-Kutta Semidiskretisierung. Dieser sehr allgemeine Zugang kann auf verschiedene Probleme angewandt werden, zum Beispiel die poröse-Medien-Gleichung, ein lineares Diffusionssystem und die Derrida-Lebowitz-Speer-Spohn-Gleichung. Das letzte präsentierte Resultat zeigt unter Ausnützung eines sorgfältig konstruierten numerischen Schemas und der schon erwähnten diskreten nichtlinearen partiellen Integrationsformel ein diskretes Analogon zu dem aus dem kontinuierlichen bekannten Bakry-Emery-Zugang für die poröse-Medien-Gleichung.

The behavior of certain entropy or energy functionals of solutions of partial differential equations is widely regarded as an intrinsic property of the underlying equations. To this end it is of great importance to find numerical schemes that offer the same entropic structures as their continuous counterpart.Due to the often nonlinear nature of both the entropies and the partial differential equations, it is a highly nontrivial task to "translate" these properties and methods to a discrete level. In this thesis we present some examples of such translations where we are able to develop tools on a discrete level that allow us to achieve similar results as are known on the continuous level. The first main result are the discrete Beckner inequalities together with a discrete nonlinear integration-by-parts formula that allow us to mimic the entropy decay of the porous-medium equation for a finite volume scheme for a wide set of parameters. Regarding the time (semi)discretization, we prove conditions on the abstract Cauchy operator under which solutions to the associated Cauchy problem feature the same entropic behavior for Runge-Kutta schemes in time as in the continuous case. This very general approach can be used on various problems, for example the porous-medium equation, a linear diffusion system and the Derrida-Lebowitz-Speer-Spohn equation. Finally, by making use of a carefully constructed discrete scheme and the already mentioned discrete nonlinear integration-by-parts formula, we give a discrete analogon to the continuous Bakry-emery approach for the porous-medium equation.