3D terrain models on the basis of a triangulation

Abstract

In this work 3D terrain models on the basis of a triangulation are described which are smooth and are not restricted to graphs of bivariate functions. This means that overhangs and cave systems can be modelled. The triangulation prescribes the topology of the surface but it does not define a smooth surface. Two methods are presented which guarantee the desired smoothness. The first method is a patch work approach whereby polynomial patches of degree four are determined for each triangle. Adjacent patches share the same boundary curve but in order to achieve smoothness they must also share the same field of tangent planes along this border. The latter requirements is only fulfilled approximately and the approach therefore provides so-called epsilon-smoothness. In the second method a subdivision surface is determined. In each vertex of the triangulation a local surface is estimated which approximates the point and its neighbors. New points are inserted into the triangulation close to the edge mid points. The co-ordinates are obtained by averaging the two local surfaces in the edge endpoints. The process is iterated and the limit surface is in general smooth. The two methods are compared for practical and synthetic examples with point and line measurements. The subdivision approach provides results which meet the requirements in topographic surface modelling.

In dieser Arbeit werden 3D-Gelaendemodelle auf Basis einer Triangulierung beschrieben, die einerseits glatt sind und andererseits nicht den ueblichen Beschraenkungen unterliegen, dass sie Graphen bivariater Funktionen sind. Somit wird auch die Modellierung von Ueberhaengen und Hoehlensystemen moeglich. Die Triangulierung gibt die Topologie der Flaeche vor, ist aber selbst keine glatte Flaeche. Es werden zwei Verfahren vorgestellt, die die gewuenschte Glattheit sicherstellen. Die erste Method ist eine Flaechenverband-Methode bei der polynomiale Patches vom Grad vier fuer jedes Dreieck bestimmt werden. Benachbarte Patches teilen eine gemeinsame Randkurve und ein gemeinsames Tangentialebenenfeld entlang dieser Randkurven. Da letzteres nur approximative zutrifft, spricht man von Epsilon-Stetigkeit. Die zweite Methode bestimmt eine Subdivision-Flaeche (Unterteilungsflaeche). In jedem Punkten der Triangulierung wird eine lokale Flaeche abgeschaetzt die diesen Punkt und seine Nachbarn approximiert. Neue Punkte werden in die Triangulierung in der Naehe der Kantenmittelpunkte eingefuegt. Die Koordinaten ergeben sich durch Mittelung zweier lokalen Flaechen in den Kantenendpunkten. Dieser Vorgang wird iteriert. Die Grenzflaeche dieses Algorithmus ist im Allgemeinen glatt. Die beiden Methoden werden auf in der Praxis erfasste und synthetische Gelaendedaten, also Punkt- und Linienmessungen, angewandt und verglichen. Die Subdivision-Methode liefert Ergebnisse, die den Anforderungen in der topographischen Gelaendemodellierung entsprechen.