Exponential sum estimates and Fourier analytic methods for digitally based dynamical systems

Abstract

Abschätzungen für Exponentialsummen und Fourier-analytische Methoden für auf Zahlensystemen beruhende dynamische Systeme Das Ziel dieser Dissertation ist das Studium von automatischen Folgen entlang spezieller Teilfolgen und anderer Eigenschaften von automatischen Folgen. Ein Hauptziel ist es, die Sanrak-Vermutung für alle automatischen Folgen zu beweisen. Eine automatische Folge ist eine Folge a(n) die nur endlich viele verschiedene Werte annimmt und von einem endlichen Automaten erzeugt wird. Automatische Folgen haben Verbindungen zu dynamischen Systemen, Ziffernentwicklungen und Zahlentheorie. Wir verwenden fourieranalytische Methoden die von Mauduit und Rivat entwickelt wurden - und später teilweise von Drmota, Mauduit und Rivat verfeinert wurden - und verallgemeinern deren Resultate.

The goal of this thesis is to study the distribution of automatic sequences along certain subsequences and other properties of automatic sequences. Most prominently, we will show that all automatic sequences fulfill the Sarnak Conjecture. Automatic sequences are sequences a(n) on a finite alphabet that are the output of a finite automaton. There are very close relations to dynamical systems, to digital expansions, to uniformly distributed sequences and also to number theory. We use Fourier analytic methods, that have been developed by Mauduit and Rivat - and a refined version by Drmota, Mauduit and Rivat - and generalise their results, concerning the distribution of sequences along certain subsequences.