Kinetic and diffusion equations for socio-economic scenarios

Abstract

In dieser Arbeit werden drei verschiedene Modelle zur Beschreibung einiger sozioökonomischer Szenarien vorgestellt. Zunächst wird ein Kreuzdiffusionssystem untersucht, welches das Herdenverhalten von Individuen modelliert. Das zweite Modell beschreibt die Dynamik von Agenten in einem großen Markt in Abhängigkeit von dem geschätzten Vermögenswert eines Produkts und der Rationalität der Agenten. Dies wird mit einer kinetischen inhomogenen Boltzmann-Gleichung modelliert. Das dritte Modell beschreibt den Einfluss von Wissen und Wohlstand in einer Gesellschaft, in der die Agenten miteinander durch binäre Wechselwirkungen gemäß einer Boltzmann-Gleichung interagieren. Die Entropiestruktur des Kreuzdiffusionssystems liefert die Existenz von zeitlich globalen schwachen Lösungen und den exponentiellen Abfall zu einem konstanten stationären Zustand. Darüber hinaus untersuchen wir analytisch lokale Abzweigungen von homogenen stationären Zuständen. Diese Analyse zeigt, dass im Allgemeinen eine Lücke existiert zwischen jenem Parameterberich, in dem der Entropieansatz gültig ist, und jenem, in dem die erste lokale Bifurkation liegt. Im zweiten Modell wird eine nicht lineare nicht lokale Fokker-Planck-Gleichung mit anisotroper Diffusion hergeleitet. Die Existenz von zeitlich globalen schwachen Lösungen für das Fokker-Planck-Anfangs-Randwertproblem wird mit Hilfe eines Entropieansatzes bewiesen. Für das dritte Modell beweisen wir die Existenz von Lösungen für die Boltzmann-Gleichung. Für alle Modelle wurden verschiedene numerische Verfahren implementiert: für das Kreuzdiffusionssystem verwenden wir numerische Fortsetzungsmethoden, um bifurkierende inhomogene stationäre Zustände global zu verfolgen, und um nicht triviale Herdenlösungen zu bestimmen. Wir haben festgestellt, dass die Hauptgrenzen im Parameterbereich durch den ersten lokalen Bifurkationspunkt, die Entartung der Diffusionsmatrix und eine gewisse Gültigkeitsbedingung für den Abfall der Entropie gegeben sind. Im zweiten Modell stellen numerische Simulationen für die Boltzmann-Gleichung die Bedeutung der Zuverlässigkeit der öffentlichen Information bei der Bildung von Spekulationsblasen und Crashs heraus. Die Verwendung von Bollinger-Bändern in den Simulationen zeigt, wie Herdenverhalten zu starken Preistrends führen kann, aber letztendlich auch zu abrupten Korrekturen. Im letzten Modell implementieren wir die Boltzmann-Gleichung. Der kinetische Code zeigt die Möglichkeit der Clusterbildung unter Verwendung von bestimmten Schwellenwerten für Wissen und Wohlstand.

In this work three different models for describing some socio-economic scenarios are presented. First, a cross-diffusion system modelling the information herding of individuals has been studied; the second model describes the dynamics of agents in a large market depending on the estimated asset value of a product and the rationality of the agents using a kinetic inhomogeneous Boltzmann-type equation. The third model describes the influence of knowledge and wealth in a society where the agents interact with the others through binary interactions via a Boltzmann equation. The entropy structure of the cross-diffusion system gives us the global-in-time existence of weak solutions and the exponential decay to the constant steady state. Moreover, we investigate local bifurcations from homogeneous steady states analytically and this analysis shows that generically there is a gap in the parameter regime between the entropy approach validity and the first local bifurcation. In the second model, a nonlinear nonlocal Fokker-Planck equation with anisotropic diffusion is derived. The existence of global-in-time weak solutions to the Fokker-Planck initial-boundary-value problem is proved using the entropy approach. For the third model we prove the existence of weak solutions for the Boltzmann equation. For each model studied several numerical simulations has been implemented: for the cross-diffusion system we used numerical continuation methods to track the bifurcating non-homogeneous steady states globally and to determine non-trivial herding solutions. We find that the main boundaries in the parameter regime are given by the first local bifurcation point, the degeneracy of the diffusion matrix and a certain entropy decay validity condition. In the second model, numerical simulations for the Boltzmann equation highlight the importance of the reliability of public information in the formation of bubbles and crashes. The use of Bollinger bands in the simulations shows how herding may lead to strong trends with low volatility of the asset prices, but eventually also to abrupt corrections. In the last model we implement the Boltzmann equation. The kinetic code shows the possibility of cluster formation, using certain specific threshold.