Sturm-Liouville Operatoren mit masswertigen Koeffizienten und die Spektralasymptotik des µ-ν-Laplace-Operators

Abstract

In dieser Arbeit werden Sturm-Liouville-Probleme betrachtet, bei denen die lokal integrierbaren Koeffizienten durch maßwertige ersetzt sind. Die klassischen Ableitungen beim Sturm-Liouville-Differentialoperators werden dabei durch Radon-Nikodym-Ableitungen nach komplexen Borelmaßen ersetzt. Anfangs beschäftigen wir uns mit Anfangswertproblem gewöhnlicher linearer Differentialgleichungen erster Ordnung mit Radon-Nikodym-Ableitung nach einem positiven Borelmaß. Danach befassen wir uns mit der Theorie von Sturm-Liouville-Operatoren mit maßwertigen Koeffizienten und finden Randbedingungen, sodass der entsprechende Operator selbstadjungiert ist. Bei getrennten Randbedingungen lösen wir das Eigenwertproblem und finden wichtige Aussagen über die Eigenschaften des Lösungsoperators und die Eigenwerte des entsprechenden selbstadjungierten Operators. Wir betrachten abschließend den Spezialfall des µ-v-Laplace-Operator und untersuchen das asymptotische Verhalten ihrer Eigenwertzählfunktion, falls µ ein selbstähnliches Maß ist und v gewisse Homogenitätsbedinungen erfüllt.

In this thesis we study Sturm-Liouville problems, where the locally integrable coefficients are replaced by measure-valued ones. Classical derivatives of the Sturm-Liouville differential operator are replaced by Radon-Nikodym derivatives with respect to complex Borel measures. At the beginning, we consider initial value problems of ordninary linear differential equations of first order with Radon-Nikodym derviative with respect to a positive Borel measure. We develop subsequently the theory of Sturm-Liouville operators with measure-valued coefficients and find boundary conditions, so that the correspinding operator is self-adjoint. In the case of separate boundary conditions we solve the eigenvalue problem and obtain important results about the properties of the solution operator and the eigenvalues of the corresponding self-adjoint differential operator. Eventually we deal with the µ-v-Laplace operator, a special case of our previously considered operator, and study the asymptotic behaviour of its eigenvalue counting function, if µ is a self-similar measure and v fulfills certain homogenity conditions.